角的平分线性质的实质与推广

刘宪升

（滨州学院理学院 山东·滨州 256600）

1 角的平分线及其性质定理的实质

为讨论方便，我们先给出角的平分线的定义、性质定理及其逆定理。

定义：从一个角的顶点引出的把这个角分成两个完全相同的角的射线，叫做这个角的平分线。

角的平分线的性质定理及其逆定理，我们以人教版课本[1]的叙述为例。

定理1：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等。”

定理1′：“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。”

1.1 角的平分线的实质

由角的平分线定义可知其实质是：角的平分线是角的一条对称轴。即：角是一个关于角的平分线对称的轴对称图形。这一实质不少课本指了出来，不再赘述。

1.2 角的平分线性质的实质

关于定理1 这一性质，课本上都给出了证明，但都没与角的平分线的实质相联系。实际上，我们结合点到直线的距离的定义，该性质是在角平分线（对称轴）上任取一点，过该点向角的两边对称的作垂线（作法对称），所得两交点（垂足）是一对对称点，故两垂线段是关于角平分线的对称线段，它们的长度当然相等了。因此，性质的实质是：过角平分线上任一点，向角的两边作的两条对称的垂线段相等。下面，给出两垂线段对称的证明。

这就证明我们上面对角的平分线性质实质的认识是正确的。

2 角的平分线性质定理及其逆定理的推广

前面我们已指出并证明了定理1 中，到角的两边的距离是关于角的平分线的对称线段，垂足是对称点。我们把垂足这个条件放开，一般化为关于角的平分线对称的点，可得下面推广。

推广1：角的平分线上的点与角的两边上关于角的平分线对称两点的连线段相等。

其实，推广1 若换种说法可能更好理解与记忆，表述为下面命题。

推广1 的逆命题也是成立的，表述如下。

推广1′：角的内部与角的两边上关于角平分线对称两点的连线段相等的点在角平分线上。

3 应用

3.1 可合理解释角平分仪制作原理及角的平分线的作法

上面对性质定理实质的揭示，就可以解释前面所提木匠所用角平分仪为何这样制作、角平分线的作法为何这样作的问题了。

图1

首先，图1（48 页截图）是人教版课本中的角平分仪。在图1中，不管∠的大小，由于=，故始终关于要作的角的平分线对称是对称点；又=，实际上是在对称轴的两侧对称的作两条射线，所得交点自身对称，又自身对称，故射线是角的对称轴，即角的平分线。其实，我国古代的木匠不懂平面几何知识，他们就是借助对称制造了角平分仪。

总之，角的平分线无论是用角平分仪画，还是根据作法作，都是先在角的两边上确定关于角平分线对称的两点，再从这两点出发朝角内对称作图交于一自身对称的点，由顶点画出的过交点的射线就是角的平分线。其关键是根据对称性作出异于顶点的另一自身对称点，而它是由对称的两条线相交得到的。认识到这一实质就可以给出其他作法，如：

其实，此作法简单的说，就是作两条关于角的平分线对称的两线段（直线或射线均可），找到另一自身对称点，进而画出角的平分线。

3.2 可以快速的解决其他问题

我们先证明等腰三角形的三线合一性质。

此题为人教版课本51 页综合应用第5 题。如不把性质定理进行推广，此综合应用题证明还是有一定难度的，下面应用推广给出证明。

由应用可见，在揭示角的平分线及其性质并推广后，不仅可以合理的解释角平分仪的制作原理，以及角的平分线作法为什么这么作，而且应用它们解决选择、填空题可以一眼就能看出问题的结论；对于大题也可快速、简单的、几步就能解决问题，有较强的应用价值。如果我们广大数学教育工作者，能从学生学习的角度，认真研究课本或所教内容，揭示出其蕴涵的实质，数学难学的问题将会迎刃而解。