基于未确知数学理论的基坑抗隆起稳定分析

杨 帆

(巴中市勘察设计咨询服务部，四川巴中 636600)

自然界中存在着众多的不确定性因素，由于认识水平的局限性，对这些不确定性因素往往不能全面认识或了解。例如，岩土体的性质非常复杂，其性质需要众多物理力学参数来描述，而且这些计算参数往往不是定值。这就给地基基础的设计带来了很大的难度和不确定性。在常规设计中大多是按照经验，对计算参数的未确知性加以忽略，将不确定性问题作为确定性问题考虑。

不确定性信息包括了随机信息、模糊信息、灰信息等。随机性由概率统计来表达和处理，模糊性由模糊数学处理，灰性由灰色数学方法处理。但是，由于实际条件的限制和地质情况的复杂性而使得很难对岩土体进行大量、准确的试验，从而难以得到参数的准确值或概率分布。因此，在使用模糊数学等方法的过程中，难以确定参数值合理的隶属函数，给求解带来了不便。灰色理论中多采用区间型灰数来表达部分已知、部分未知的灰信息，但区间型灰数多是定义在一个区间内，且在补充信息较少的情况下灰数的白化相当困难。同理在使用可靠性分析方法时，也需要大量的资料来确定参数的变异性和不确定性[1]。

考虑到以上问题，以及土体参数在客观上是确定性的，但决策者由于主观原因而认识不清，即属于一种不完整信息。这类信息是部分已知部分未知的未确知信息，而且已知部分多于未确知部分。设计者在使用这类信息或参数进行设计、计算时，应该充分考虑它的未确知性，而不能简单的将其作为确定性信息处理。

用于处理未确知信息的数学工具是未确知数学，它是实数的推广，能精细地刻划和表达客观存在的“未确知量”，从而避免使用定值表示带来的信息遗漏和失真[2]。

1 未确知数学基本理论

简单来说，如果已知一个数落在区间[a,b]上，那么这是一个灰数；如果既知道这个数落在区间[a,b]上，同时还知道它在区间上取值的可能，就是一个未确知数。

1.1 未确知有理数[3]

对任意闭区间[a,b]，a=x1

(1)

1.2 未确知有理数运算法则

设*表示g(I)中的一种运算，可以是+、-、×、÷中的任何一种。设未确知有理数A、B为：

A=[[x1,xk],f(x)]，其中：

(2)

B=[[y1,ym],g(y)]，其中：

(3)

表1为盲数A关于B的可能值带边*矩阵；x1,x2,L,xk和y1,y2,L,ym分别为A与B的可能值序列。互相垂直的两条直线叫纵轴和横轴。第一象限元素构成的k×m阶矩阵叫做A关于B在*运算下的可能值*矩阵，简称可能值*矩阵。

表2为A关于B的可信度带边积矩阵；α1,α2,L,αm，和β1,β2,L,βn，分别是A和B的可信度序列。互相垂直的两条直线叫纵轴和横轴。第一象限元素构成的m×n阶矩阵叫做A关于B的可信度积矩阵，简称可信度积矩阵。

表1 A关于B的可能值*矩阵

表2 A关于B的可信度带边积矩阵

A关于B的可能值*矩阵与可信度积矩阵中元素aij,bij(i=1,2,L,n)叫做相应元素，其所在的位置称为相应位置。

(4)

当*分别代表+、-、×、÷时，则分别代表A+B、A-B、A×B、A÷B。

2 基坑抗隆起稳定分析

基坑稳定验算是基坑支护设计重要内容之一，其中包括整体稳定、抗隆起稳定、抗渗流稳定验算等。基坑的抗隆起稳定分析对保证基坑稳定和控制基坑变形具有重要意义，现行的规范中也给出了具体的验算方法[4]。但规范给出的公式仅适用于纯黏性土(φ=0)，很难同时考虑土体的抗剪强度c、φ对抗隆起的影响。因此参照Prandtl的地基承载力公式进行抗隆起安全系数的验算[5]：

(5)

式中：d为墙体入土深度；h为基坑开挖深度；γ1,γ2为墙体外侧及坑底土体重度；q为地面超载；Nc、Nq为地基承载力系数。

采用Prandtl公式计算时，Nc、Nq分别为：

Nq=tan2(45°+φ/2)eπtanφ

(6)

Nc=(Nq-1)/tanφ

(7)

使用该方法验算抗隆起安全系数时，要求Ks≥1.6。

从以上的分析可以看出，抗隆起安全系数同土的物理性质指标和抗剪强度密切相关。由于土的重度一般离散性较小，也便于测量，所以抗剪强度c、φ对计算结果影响较大。常规方法将c、φ当作定值处理，虽然简便，但难免与实际不符，计算结果有时也不全面。下面通过一个算例来说明使用未确知有理数和一般实数对抗隆起稳定分析带来的影响。

3 算例研究

某基坑开挖深度为8m，采用钢筋混凝土支护桩，嵌固深度为2m，基坑表面作用的均布荷载q=40kPa。基底以上土层为粉质黏土，γ=19.8kN/m3、c=27kPa、φ=38°，基坑底至支护桩底端(图1中的CB段)土层为黏性土混砂，γ=18kN/m3，三组试验测得的黏聚力分别为：12kPa、13kPa、17kPa；测得的内摩擦角为：18°、17°、23°。现对该基坑进行抗隆起稳定分析。

图1 基坑抗隆起计算示意

用常规确定性分析方法，坑底土的平均黏聚力为14kPa，平均内摩擦角为19°，代入式(5)～式(7)可得，抗隆起安全系数Ks=1.72>1.6，满足规范要求。

下面使用未确知有理数来描述黏聚力和内摩擦角的试验结果。

根据资料，黏聚力有三个测值，其中12kPa、13kPa两个值比较接近，可以都取较小的12kPa。因此可以得到其未确知有理数表达式为:

(8)

同理可得φ的未确知有理数表达式为:

(9)

将c、φ的表达式代入式(6)、式(7)，可以得到地基承载力系数的未确知有理数表达式为：

(10)

根据式(8)和式(10)可以看出抗隆起安全系数的分子的两项cNc,γ2dNq都是未确知有理数，根据未确知有理数的运算法则可以得到：

(11)

(12)

由式(11)、式(12)可以根据未确知有理数的运算法则进行安全系数Ks的分子的计算，具体过程见表3和表4。

表3 cNc关于r2dNq的可能值带边和矩阵

表4 cNc关于r2dNq的可信度带边积矩阵

安全系数Ks的分母为一定值，因此表3和表4和已知数据，可以计算得到Ks的表达式，经整理后如下：

(13)

由式(13)可以看出，抗隆起安全系数Ks小于1.6的可能性为8/27，，即抗隆起验算不满足要求的概率为将近1/3。

对比不考虑参数未确知性的计算结果和将参数作为未确知有理数进行处理后得到的计算结果，可以发现结论不尽相同。常规的设计方法分析得到的结论是基坑抗隆起安全系数满足要求，即支护桩的嵌固深度足够。但如果考虑了参数取值的不确定性，将这些难以用定值描述的参数用未确知有理数表达及运算，可以发现地基承载力不能满足要求的概率近1/3，这说明该基础的地面尺寸并不是在任何情况下都满足承载力的要求。设计人员对基础的安全性应有更充分的认识，如果出于安全的考虑，建议增加支护桩嵌入基坑底部的深度。

4 结 论

(1)设计中不可避免的会涉及到难以确定或离散性较强的计算参数，常规的处理方法一般是给参数取一个定值(如平均值或者经验值)，然后采用相应的方法进行分析计算。这类常规设计方法在一定程度上忽略了隐含于参数中的未确知性，分析结果不够全面，有时甚至会得出错误的结论。

(2)与以往的确定性分析方法相比，未确知有理数可以将难以用定值描述的参数用可信度表示，对影响因素考虑周全，从而得到更详实全面的结果。

(3)在未确知有理数的计算过程中，取值区间越多，进行运算所得的可能值区间就越多，计算量就越大。而过多、过密的取值区间对计算结果是毫无意义的。因此，在计算中应尽可能地根据现场的实际情况来确定参数的未确知性，并在运算中注意区间的合并，以使计算结果的表达清晰明了。