函数与方程思想在数列解题中的应用

摘 要：用函数与方程的思想方法解决数列问题，就是对所给出的数列问题，经过从不同的审题角度去思考问题，看看此数列问题的解决与方程或函数是否有关联，若有关联，就可用函数与方程的思想来求解该数列问题;若给出的数列问题从表面上看是非方程或函数的问题，但经过一番改造或转化后仍属于方程或函数的问题，此时就可用函数与方程的思想来求解该数列问题。有些求值或化简问题，如果纳入方程的思想方法来处理，往往有事半功倍之效。

关键词：方程与函数思想;数列问题;转化;回归

数列问题函数（方程）化法形式结构与函数（方程）类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性的特点。其一般解题步骤是：

第一步：分析数列式子的结构特征。

第二步：根据结构特征构造特征函数（方程），转化问题形式。

第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数（方程）的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究。

第四步：回归问题，结合对函数（方程）相关性质的研究，回归问题。

【例2】 假设某市2014年新建住房400万m2，其中有250万m2是中低价房，预计在今后的若干年內，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万m2。那么，到哪一年底：

（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2014年为累计的第一年）将首次不少于4750万m2？

（2）当年所建造的中低价房的面积占该年所占住房面积的比例首次大于85%？

解析：（1）由已知可设中低价房的面积为数列{an}且易得{an}为等差数列，其中a1=250，d=50。则sn=250n+n（n-1）n×50=25n2+225n，令25n2+225n≥4750即n2+9n-190≥0，而n是正整数，所以n≥10，故到2023年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万m2。

（2）设新建住房面积为数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08则bn=400×1.08n-1又an>0.85bn，所以有250+（n-1）×50>400×1.08n-1×0.85，借助计算器可知满足上述不等式的最小正整数n=6所以到2019年底，当年所建造的中低价房的面积占该年所占住房面积的比例首次大于85%。

设计理由：利用函数与方程思想建立数学模型。

规律小结：

①数列的通项公式和前n项和公式都可以看成关于n的函数，也可看成方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成关于n的一次函数，而求其和公式可以看成是关于n的二次函数，因此，许多数列问题可以有函数与方程的思想进行分析，加以解决。

②数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解释数列问题的有效方法，在这里必须会构造函数，用函数的思想方法解题。在用动态的函数观点研究数列时，必须注意其“特殊性”，即定义域为n∈N*，如“已知{an}是递增数列，且对x∈N*都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为    ”。往往会出现如下错解“因为an=n2+λn=n+λ22-λ24，对称轴n=λ2，当n≥1时为递增数列，则-λ2≤1从而λ≥-2”。正确的答案是，由{an}是递增数列，结合图形，则只要-λ2≤32即可，所以λ≥-3。

在新课改的浪潮中，能力考查已成为高考命题的核心内容。函数是数学的基础概念之一，也是中学数学的重要内容。只有深刻理解函数的本质及内涵，从函数与方程思想的高度指导解题，才能提升解决问题的能力。在这种背景下，本文对高中数学知识中蕴藏的函数与方程思想进行研究。本文采用研究法、行动分析法等方法结合自身的教学实践，以教育心理学、现代教学论等为依据，从理论上研究高中数学函数与方程思想并加以例题进行阐述说明，旨在通过本文的研究促进高中数学的教学。通过对函数与方程思想的含义、教学、应用等研究，提出以下高中数学教学建议：数学教学必须提高学生的主观能动性，重视学生对数学知识本质上的理解，重视函数与方程思想的提炼与应用，注重能力的培养。

作者简介：

康金东，甘肃省定西市，甘肃省渭源县第一中学。