关于高等代数中一些问题的注记

摘 要 本文考虑了高等代数中的某些具有唯一性的量，例如可逆矩阵的逆、可逆线性变换的逆、矩阵的谱等，以及某些不具有唯一性的量，比如使实对称矩阵对角化的正交矩阵、使对称矩阵合同于对角矩阵的可逆线性替换矩阵等. 最后总结了在高等代数课程中多次出现的等价关系， 以期使读者能够更好的掌握高等代数这门课程。

关键词 高等代数 线性变换 正交矩阵 对称矩阵 等价关系

中图分类号：O151文献标识码：A

在高等代数的教材中编者往往或为了编写的流畅性，或为篇幅，或为忽略等原因，高等代数中某些量的是否唯一性并没有强调太多，或者根本就忽略了。为了使大家能够更加容易理解这些量，在本文中我们列举了一些出来，以飨读者，希望读者能够更好的掌握高等代数这门课。

1某些量的唯一性

1.1可逆矩阵的逆

首先我们给出大部分教材给出了证明的一个性质，其证明具有参考性，其他的有些性质可以类似给出。

性质1.1：可逆的矩阵的逆是唯一的。

证：假设矩阵A是可逆的，矩阵B和C都是A的可逆矩阵，则 BA=E，AC=E

故 B=BE=BAC=EC=C

所以唯一性得证。

1.2可逆的映射的逆

类似地我们可以得到下面的结论：

性质1.2：可逆的映射的逆是惟一的。

证  假设映射 是可逆的，并且映射和都是的可逆映射，则故所以唯一性得证。

1.3可逆的线性变换的逆

由于线性变换也是映射，所以我们也可以容易得到下面的结论。

性质1.3.可逆的线性变换的逆是惟一的。

1.4正交变换的逆

由于正交变换也是线性变换，所以也能够得到下面的结论：

性质1.4：正交变换的逆变换是惟一的，并且它是欧式空间的同构映射。

1.5矩阵的谱

性质1.5：在确定的数域下，矩阵的谱是惟一的。

矩阵的谱就是矩阵的所有特征值构成的集合，由于矩阵的特征值就是它的特征多项式的所有的根，所以也是确定的，且谱是唯一的。当然矩阵有没有特征值是跟数域有关的，所以它的唯一性是在数域确定的情形下得出的。

当然比较明显的其它的概念如矩阵的秩、行列式、二次型的规范性、线性变换的线性变换的矩阵、值域与核以及线性空间的基确定的情况下任意向量的坐标等都是惟一的，上面我们仅仅讨论相对不易发现或推导的性质。

2某些量的多元性

2.1矩阵相似的可逆矩阵

定义2.1：设A，B是数P域上的两个方阵，如果能够找到同数域上的可逆矩阵X，使得BX-1AX，则称A相似于B。

性质2.1：若A相似于B，则满足BX-1AX在同数域上的可逆矩阵X是不唯一的。

例2.1：A若相似于B，且满足BX-1AX，则X也是我们要找的可逆矩阵，且满足B=（X）-1A（X）。

例2.2：若n阶方阵a可以对角化，则存在可逆矩阵X，使得X-1AX=A，这里A=是一个对角矩阵，是矩阵A的特征值。进一步我们可得到AX=XA。然后把矩阵X分块，每一列为一块。接着我们把AX=XA展开可得

故

也即是矩阵A的特征向量。另外只要我们找的可逆矩阵X的列是个线性无关的特征向量，都能够使得矩阵A可以对角化。由此我们只需要改变最开始的矩阵X的每一列的系数就会得到不同的可逆矩阵X'，这些矩阵都会满足（X'）-1=AX'=，所以这样的可逆矩阵也是无穷多的。

2.2矩阵合同的可逆矩阵

定义2.2：设A，B是数域P上的两个方阵，如果能够找到同数域上的可逆矩阵X，使得B=X'AX，则称A合同于B。

性质2.2：若A合同于B，则满足B=X'AX且定义在相同数域上的可逆矩阵X是不唯一的。

例2.3：设，，则我们可以找到满足，也可以找到满足，所以满足的可逆矩阵X，是不惟一的。

同时，关于的选取，通过计算，只需要令是虚数单位，则它就能够满足，所以这样的可逆矩阵也是无穷多的。

注2.1：矩阵的合同是跟数域有关的，在上例中，如果我们把数域限制在实数域上，则A不能够合同于B。

2.3實对称矩阵对角化的正交矩阵

我们知道高等代数中的一个最重要的定理之一就是任何一个实对称矩阵A都可以找到一个正交矩阵T，使得化为对角矩阵.这个正交矩阵是惟一的吗？显然不是。

性质2.3：若A是一个实对称矩阵，则可以找到多个正交矩阵T，使得化为对角矩阵。

关于这个性质，我们可以把它看成例2.2自然地可以推出的结论。

其它的量诸如矩阵的属于某个特征值的特征向量、二次型的标准形、实对称矩阵的标准形、欧式空间的标准正交基等明显的是不唯一的。在这些量当中，有些是有限的，有些是无限的。

3等价关系

等价关系是一种重要的代数关系，往往是对量进行分类的一个重要依据。它有三个性质，即自反性、对称性和传递性。学生在学习的时候往往不善于总结，学得不够牢固，所以在这里我们特意提出。

（1）向量组的等价：两个向量组可以相互线性表示。这里的向量组可以是具体的中的，也可以是线性空间V中的。当然是一个线性空间。课本中的出现是从具体再到抽象的形式，易于大家的理解。

（2） 矩阵（—矩阵）的等价：指一个矩阵（—矩阵）经过一系列初等变换得到另一个矩阵（—矩阵）。

（3）矩阵的相似：见定义2.1。

（4）矩阵的合同：见定义2.2。

（5）线性空间的同构：是指两个线性空间（欧式空间）存在一个同构映射。包括线性空间的同构和欧式空间的同构，当然欧式空间的同构作为线性空间来说也一定是同构的。

基金项目：乐山师范学院科研项目（Z1514）。

作者简介：冯新磊，男（汉），山东阳谷人，乐山师范学院数学与信息科学学院副教授，理学博士。主要研究方向符号模式矩阵以及多智能体系统一致性。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，王萼芳，石生明.高等代数（第四版）[M].高等教育出版社，2013.

[2] 俆德余，何承源，邹国成等.高等代数（第二版）[M].四川大学出版社，2005.

[3] 林亚南.高等代数[M]，高等教育出版社，2013.