电阻在电磁感应含容电路中的物理意义

邵 卓

(深圳中学，广东 深圳 518025)

在单导体棒切割磁场的问题中,含容电路是教学难点之一.文献[1-2]从例题出发推导出解析结果,文献[3]设计了一般性的问题,并得到该类问题的通解．但由于解答过程涉及一阶微分方程,数学结果抽象,很多教师对电磁回路中电阻的作用困惑不解．本文以两个动力学问题为例,分别从物理意义和数学角度对该问题进行讨论.

图1

例1.如图1所示,光滑的水平平行金属导轨间距为L,导轨左端接有电容为C的电容器,串联电阻为R,整个装置处在垂直导轨平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中,一质量为m,电阻不计的导体棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好.开始时,电容器不带电,现给导体棒一水平向右的初速度v0,试分析导体棒以后的运动情况并求金属杆最终的稳定速度及整个过程回路中产生的焦耳热.

解析:ab棒切割磁感线,回路中产生感应电流,电容器充电电压逐渐增大．运动开始后ab棒中感应电流使棒受到安培力的作用开始减速,最终电容两端的电压与棒切割产生的电动势相等,回路中电流为0,ab棒将以速度v匀速运动.

当ab棒稳定运动时,电容器的电量

q=CU.

(1)

此时,ab棒两端的电压

U=BLv.

(2)

从开始运动到稳定,对ab棒使用动量定理

BLq=mv0-mv.

(3)

可得

(4)

终态时,回路电流为0,ab棒的速度v与电阻R无关,电容器电量q也与电阻无关.令人困惑的是,既然回路中存在电阻,为何终态的物理量却与电阻R无关,那么电阻R在回路中的作用是什么?

(1) 物理解释.

设任意时刻,电容器的电量为q,电路中的电流为i,ab棒的速度为v,整个回路的感应电动势以及电容电压和电阻电压的关系为

(5)

电流为电荷随时间的变化率

(6)

将(6)式代入(5)式,有

(7)

由欧姆定律可知,电流是电压和电阻共同作用的结果.电压起推动电荷运动的作用,而电阻则阻碍电荷运动.假设回路中的电阻为线性元件,在初始时刻,回路的电压最大,电荷变化率最大.此时电容电压增加地最快,同时导体棒的速度减小地也最快.此后,回路中的电压开始变小,电阻不变,电量变化率逐渐减小直至回路中电压为0,最终电量变化率为0.

为了讨论转移的电荷量与电阻的关系,不妨设任意时刻电容器的电压为u,金属棒两端电压为u′,对金属棒ab用动量定理有

(8)

转移的电量越大,ab棒电压就越低.由电容器的特点可知

q=Cu.

(9)

电容器两端的电压就越大,回路的电压u-u′就越小,直至u=u′,电荷不再转移.由此可见电阻只影响电荷量变化率,而不影响转移的总电荷量. 电阻越大,电荷量变化率越小,回路达到稳定的时间越长.电容C越大,电容电压的改变就越难,导体棒的质量m越大,其运动状态的改变也越困难.相应的,回路达到稳定的时间也越长. 这些因素共同影响电磁感应过程的快慢即影响驰豫时间.

(2) 数学分析.

从数学角度对例1进行分析.

将式(5)对时间求微分,可得

(10)

对ab棒使用牛顿第二定律

(11)

将式(6)和式(11)代入式(10)可得

(12)

令

(13)

则有

(14)

(15)

图2 I-t图像

将i-t函数表示出来,如图2所示,3条曲线分别为电阻R,0.5R,0.1R时的函数图像.由图可知,电阻越小,弛豫时间越短,电流衰减地越快.但无论电阻是多少,电流最终会趋向于0.而当回路中的电阻R→0时,弛豫时间τ→0,即电流在棒开始运动的一瞬间达到无穷大,之后瞬间衰减为0,此种情况违背了基本的物理原理.

类似的,可以得到电容器所带电量的微分方程.由动量定理可得

BqL=mv0-mv.

(16)

将式(16)代入式(7)中可得

(17)

该微分方程的解为

(18)

图3 q-t图像

图4

例2.如图所示,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L.导轨上端接有一平行板电容器,电容为C.导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑,求:

(1) 电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;

(2) 金属棒的速度大小随时间变化的关系.

解析:设任意时刻,电容器的电量

q=CU.

(19)

对于金属棒

U=BLv.

(20)

联立式(19)和式(20),可得

q=CBLv.

(21)

将式(21)对时间求微分可得

i=CBLa.

(22)

又由牛顿第二定律

mgsinθ-μmgcosθ-BiL=ma.

(23)

则有

(24)

(1) 物理解释.

相比于例1,例2中R为0,那么有

(25)

即电容器的电压始终等于导体棒的电压.将该式对时间微分,可得

(26)

由式(26)可以看出,电量变化率正比于棒的加速度．导体棒受到有限值大小的作用力,运动的加速度总是有限值,那么电量变化率也必为有限值,符合物理原理.

与例1相比,例2中棒的初速度为0,增加了外力.若在此回路中加入电阻,电阻的作用是否与例1相同?

若回路中电阻R不为0,电流同时受限于回路中电势差和电阻.当导体棒刚开始运动时,加速度最大,两端的电压变化最快,但由于回路中的电阻会阻碍电荷的转移,此时电容两端的电压的变化会小于导体棒.只要导体棒的电压变化率大于电容电压变化率,回路中的电势差就会进一步拉大,电流就会持续增大.电量变化率增大.一方面会提高电容电压的变化率,另一方面也会减小导体棒电压变化率,直至二者电压变化率相等,电流达到稳定.由上述分析可知,最终电流的大小由导体棒和电容的电压变化率共同决定,即最终电流受限于初始时棒的加速度、磁感应强度、导体棒长度以及电容.电阻不会影响最终电流的大小,也不会影响总电量,只会影响达到稳定所需要的时间.电阻越大,弛豫时间越长.此外,电容C越大,导体棒质量m越大,相应的电压变化就越困难,所需的稳定时间也越长.

(2) 数学分析.

下面从数学角度对回路存在电阻的情况进行分析.由牛顿第二定律可得

mgsinθ-μmgcosθ-BiL=ma.

(27)

(28)

该微分方程的解为

(29)

由该解可见,回路中出现电阻之后,电流会逐渐增大到某一值,而电阻越小,弛豫时间越短,电流增加地越快.若没有电阻,电流则会从0突变为同一值.

将式(29)对时间积分,可以得到电容器所带电荷量,代入初始条件t=0,v=0,q=0，可得

(30)

图5 q-t图像

数学结果与物理解释相吻合.只要初始状态中电容的电压与导体棒两端的电压相等,无论回路中是否存在电阻,在物理上均是合理的.但加入电阻后,需要解微分方程,因此在高中阶段,一般会将电阻R设为0.

综上所述,在含容的单棒电路中,电阻不影响终态的物理量,但会影响相应物理量的弛豫时间,电阻越大,弛豫时间越长.当电容器的电压与金属棒两端电压在初始状态不等时,回路须含有电阻,否则,就会出现电荷瞬间转移这种违背物理规律的现象.这一点需要引起出题教师们的注意,避免出现知识性错误.相反的,若电容器的电压与金属棒两端电压在初始状态就相等,那么电荷转移速度的极限由棒加速度决定,此时电阻可以为0.