巧作辅助线 找到突破口

陈学义

(云南省德宏傣族景颇族自治州民族初级中学 云南 潞西 678400)

通过证明三角形全等是解决有关证明角相等或线段相等的重要方法，也是初中数学中的重点考察内容，同时也是学生学习几何证明的难点内容，尤其在需要作辅助线后才能找出全等三角形的问题更是学生学习的难点，本文通过“巧作辅助线，找到突破口”为题，为读者归纳几题先巧作辅助线，再通过证明三角形全等来解决线段相等的问题，仅供参考。

问题背景，请你证明以下两个命题：

①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM；

②如图2,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM.

先证命题①，在线段AB上取一点E，使AE=NC，连接EN，如图3，

∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC，∴BE=BN

∴△BEN也是等边三角形

∴∠BEN=∠ENB=60°，∠AEN=∠NEC=120°，

∠EAN+∠ANE=60°

又∵∠ANM=60°

∴∠ANE+∠CNM=60°

∴∠EAN=∠CNM

∵CM为正△ABC的外角∠ACK的平分线

∴∠NCM=120°

在△AEN和△NCM中

∴△AEN≌△NCM(ASA)

∴AN=NM.

再证命题②，在线段AB上取一点G，使AG=NC，连接GN，如图4，

∵五边形ABCDE是正五边形

∴AB=BC，GB=BN，∠B=108°

∴∠BGN=∠GNB=36°，∠GNM=∠AGN=144°

∴∠GAN+∠ANG=36°

又∵∠ANM=108°

∴∠ANG+∠CNM=36°

∴∠GAN=∠CNM

∵CM为正五边形形ABCDE的外角∠DCK的平分线

∴∠MCK=36°

∴∠NCM=144°

在△AGN和△NCM中

∴△AGN≌△NCM(ASA)

∴AN=NM.

在几何证明中，作辅助线往往可以起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，本文所归纳的几个例子就是很好的说明。