模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值及其性质

杨靛青，李院红，俞裕兰

(1. 福州大学经济与管理学院，福建 福州 350108；2. 福建商学院国际贸易系，福建 福州 350012)

0 引言

考虑局中人组成多层次联盟单元后参与大联盟合作，获得大联盟收益后再逐层次在联盟单元内部进行公平、 合理的分配，这种合作对策称为多层级联盟结构合作对策. 文献[1]提出两层联盟结构(简称联盟结构)合作对策. 此后，联盟结构合作对策的Shapley值(也称Owen值)[1]、 Banzhaf值[2]、τ值[3]和核心[4]等陆续被提出. 文献[5]公理化多层级联盟结构合作对策Shapley值，进而证明其满足的性质. 在此基础上，文献[6]将经典合作对策Banzhaf值扩展到多层级联盟结构合作对策上. 文献[7-8]构造了多层级联盟结构合作对策τ值的计算方法并讨论了其性质. 文献[9]将多层级联盟结构和图状结构相结合，构造多层级图联盟结构合作对策. 以上研究促进了合作对策理论的发展和完善，但存在一定的局限性. 在现实管理中，由于客观原因限制，局中人可能以一定参与程度组成多层级联盟结构后参加大联盟合作，而在进行利益分配时也应考虑局中人参与程度的影响，这种合作对策被称为模糊多层级联盟结构合作对策. 早期的研究主要集中于模糊合作对策，该对策是模糊多层级联盟结构合作对策的特殊情况，即模糊单层联盟结构合作对策. 文献[10]根据模糊集思想，首次将经典(清晰)合作对策进行推广，定义模糊合作对策，并提出了模糊核心解. 此后，其他研究先后提出了模糊合作对策的Shapley值[11]和τ值[12-13]等解概念. 文献[14]利用Choquet积分和多维拓展方法，提出模糊联盟结构合作对策的Shapley值，证明该解的存在性和唯一性. 目前，对模糊多层级联盟结构合作对策解的研究已取得了一些成果，没有发现对模糊多层级结构合作对策Shapley值进行研究.

本研究结合模糊集概念和多层级联盟结构思想，定义模糊多层级联盟结构Shapley值，研究其满足整体有效性、 可加性、 联盟内对称性、 哑元性及唯一性等性质. 最后，通过算例比较分析模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值和Banzhaf值的异同特性.

1 模糊多层级联盟结构合作对策

合作对策可表示为一个序对〈N，v0〉，这里N={1，2，…，n}表示n个局中人集合，v0为合作对策的支付函数，其为N的幂集2N到实数集R的映射，即v0:2N→R且满足v0(Ø)=0. 记G0(N)为N上合作对策的集合. 为方便起见，将N{i}简写成Ni，v0({i})简写成v0(i)，v0(T∪{i})简写成v0(T∪i).

定义1对于〈N，v0〉∈G0(N)且模糊联盟S∈L(N)，令Q(S)={si|si>0，i∈N}，q(S)是Q(S)中元素的个数，将Q(S)中元素按不减顺序排列为0≤t1≤t2≤…≤tq(S)≤1. 基于Choquet积分的模糊合作对策〈L(N)，v〉的支付函数v是模糊联盟集合L(N)到实数集R的一个映射，即v:L(N)→R且v(Ø)=0，满足：

(1)

其中: [S(T)]t={i|si≥t，i∈T}，t∈[0，1]；对于任意S(T)，规定t0=0. 称v是关于v0基于Choquet积分的模糊合作对策，记Gc(N)为基于Choquet积分的模糊合作对策的集合.

2 模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值及性质

2.1 模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值的定义

(2)

根据定义4，有：

又由于

因此，有：

当S=eN且k=1时，模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值退化成经典(清晰)联盟合作对策Shapley值；当S∈L(N)且k=1时，模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值退化成模糊合作对策Shapley值. 因此，模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值是对经典联盟合作对策Shapley值的一般化表达，也是对清晰联盟结构的合作对策Shapley值的进一步扩展.

2.2 基于Choquet积分的模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值的性质

定理2基于Choquet积分的模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值满足以下性质：

6) 模糊联盟商对策性. 给定S∈L(N)，对任意r∈{0，1，…，k-1}和t∈M(Br+1)，有:

7) 层级平衡贡献性. 给定S∈L(N)，对于任意i，j∈U∈B1，有:

(3)

由于存在i∈N，满足对于任意T⊆Ni，有v0(T∪i)=v0(T)+v0(i). 则：

(4)

且

(5)

将式(4)～(5)，代入式(3)，得：

则对任意排列π∈Ω(N)，有：

(6)

根据定义1和定义4，模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值可简写为：

(7)

根据式(6)～(7)可得：

2) 对任意排列π∈Ω(N)有：

(8)

根据式(7)～(8)可得：

3) 对任意i，j∈U⊆N，T⊆N{i，j}满足v(S(T∪i))=v(S(T∪j))，则对任意排列π∈Ω(N)，有：

则根据定义4和式(7)，可知：

4) 设v，w∈Gc(N)，由定义4和式(7)，有：

5) 由于存在i∈N，对任意排列π∈Ω(N)，有：

由定义4及式(7)，可得：

7) 对于任意i，j∈U∈B1，根据定理1，有：

同理，可得：

根据文献[6]，可知对于任意的tl∈Q(S)，有：

2.3 模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值的唯一性

定理3模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值是满足有效性、 可加性、 联盟内对称性、 哑元性和模糊联盟商对策性的唯一解.

证明 定理2证明模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值满足有效性、 可加性、 联盟内对称性、 等价边际贡献性、 模糊联盟商对策性和层级平衡贡献性. 现在只要证明该对策解是满足这6个性质的唯一解.

当S∈L(N)，任意基于Choquet积分的模糊合作对策可以表示为：

(9)

已知每个清晰联盟合作对策v0[S]tl可表示成：

(10)

由模糊联盟S和tl∈Q(S)的任意性，可知式(2)在一致对策uT上是唯一的. 根据式(9)～(10)，对于任意的v∈Gc(N)可简写为：

3 算例分析

表1 模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值和Banzhaf值

算例可以验证Shapley值满足有效性、 可加性、 哑元性、 联盟单元对称性、 多层单体联盟性质和联盟外无关性，分配策略具有一定的公平合理性. 通过比较分析，多层级模糊联盟结构Banzhaf值和Shapley值的特性上有以下三点不同.

4 结语

本研究定义了模糊多层级联盟结构合作对策Shapley值，讨论其满足有效性、 可加性、 联盟单元对称性和哑元性等性质，证明了其唯一性公理化条件. 该值是合作对策Shapley值的一般形式，但该Shapley值的联盟结构相对固定，下一步将重点研究不同联盟结构对Shapley值的影响.