带电粒子在有界磁场中运动问题的归类解答分析

摘 要：将一类问题根据其特征分类，可以让解题有触类旁通、循序渐进的效果。带电粒子在有界磁场中运动的问题，既是高中物理的典型问题，也是高考的热点。文章将问题按磁场边界面的不同分类并作答，使此类问题的解答有章可循，并“化险为夷”。

关键词：带电粒子在有界磁场中运动;不同边界面;分类解答

带电粒子在匀强磁场中运动的问题历来是高考的热点。此类问题在高考试卷中多以计算题的形式呈现，有难度大、分值高和压轴题等特点，因此是物理高考复习教学的重点之一。教学中，依据问题的特点，将问题进行归纳分类，可以使问题解答变得有章可循，并“化险为夷”。文章根据匀强磁场边界面的不同，将带电粒子在有界磁场中运动的问题进行分类并做了解答。

一、 平面边界

界面为平面的问题最为多见，根据界面数的多少又可以分成单一边界和多边界两类。解题要用到圆和直线相交、相切等几何关系。圆是带电粒子的运动轨迹，直线通常是平面边界与纸面的交线或速度线（速度示意图所在的直线）。

（一）单一边界

单一边界的问题相对简单些。带电粒子进入磁场的速度与边界夹角不同，轨迹弧也有所不同。通常进入磁场的带电粒子最终会从同一边界离开磁场，且进出磁场时速度与边界的夹角相等。如图1所示，初速度与边界夹角为直角时，粒子轨迹为半圆;夹角不为直角时，粒子轨迹为一段优弧或劣弧。

有一类问题是两种不同磁感应强度的匀强磁场分布在一个平面界面的两侧，两边磁场相互平行且平行于界面。

【问题1】图2中虚线AB右侧是磁感应强度为B1的匀强磁场，左侧是磁感应强度为B2的匀强磁场。已知B1B2=2。磁场的方向都直于图中的纸面并指向纸面内。现有一带正电的粒子自图中O处以初速度v向右运动，求从开始运动到第10次向右通过AB线运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度。

解析（略）

答案：v-=2V3π

问题1中，因为初速度线垂直于界面，所以轨迹是由两种不同半径的半圆交叠而成，描画轨迹很容易，但解题的关键不仅在画轨迹，清楚平均速度的概念也很关键，速度是矢量，要牢记其矢量性。粒子在AB两侧以不变的速率来回运动的同时也在AB方向上变速前进，所以只能求平均速度。粒子的运动有周期性，每次向右通过AB恰好是一个周期，所以粒子在周期整数倍的时间里，在AB方向的平均速度，跟第一个周期的是一样的。

（二）多边界

多边界问题相对复杂些，根据边界面的位置关系不同，又将这类问题分为平行界面和正棱柱界面。平行界面的问题，通常要求带电粒子能否穿过某一界面的某个物理量的临界值。棱柱界面的问题，带电粒子可能在柱内（或柱外）做周期性运动，有较强的规律性，多解的可能性大，容易出现漏解的情况。

下面的问题是三个平行界面构建了两种磁场空间，要求带电粒子穿过磁场的速度值。在其他条件一定时，带电粒子的轨迹半径与其速率成正比，半径越大通过的可能越大，所以通常是求速度的最小值。

【问题2】如图3所示，3条足够长的平行虚线（界面与纸面的交线）a、b、c，ab间和bc间相距分别为2L和L，ab间和bc间都有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度分别为B和2B。质量为m，带电量为q的粒子沿垂直于界面a的方向射入磁场区域，不计重力，为使粒子能从界面c射出磁场，粒子的初速度大小应满足什么条件？

解析（略）

答案：速度大于4BqLm。

通常解决这类问题要利用好四点：其一，若带电粒子的初速度与边界垂直，则其轨迹圆心就在该边界上;其二，带电粒子在通过中间界面时轨迹半径要变化，但在軌迹与界面交点处的轨迹半径是共线的;其三，能否穿越界面的临界值是轨迹与界面相切时对应的值，切点对应的半径与界面垂直;其四，画出轨迹示意图，找出图中的直角三角形，利用直角三角形边与角的关系列方程求解。

二、 圆柱面边界

圆柱界面的问题也不少，可分为单一界面和同轴多面两种情况。这类问题的几何关系其实是圆和圆相交的关系，带电粒子的轨迹是圆，圆柱面与纸面的交线也是圆（称为磁场区域圆）。

（一）单一界面

这类问题大致可分为三种情况。第一种，带电粒子自磁场区域外射入磁场，射入时速度线过区域圆心;第二种，带电粒子自磁场区域外射入磁场，射入时速度线不过区域圆心;第三种，带电粒子自区域圆心沿某半径方向开始运动。不论哪种情况都要根据题设条件寻找几何关系，最终找到初、末两条速度线与轨迹半径构成的四边形。第一种情况的两条速度线与区域半径重合，这一四边形的特征、性质及其运用较为简单，不再赘述。第二种情况和第三种情况的问题解法有较多的相似之处，下面就第二种情况举一例。

【问题3】在直径为d的圆柱区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外。一电荷量为q，质量为m的粒子，从磁场区域的一条直径AC上的A点射入磁场，其速度大小为v0，方向与AC成α。若此粒子从磁场区域圆周上D点离开，AD与AC的夹角为β，如图4所示。求该匀强磁场的磁感强度B的大小。

解析（略）

答案：B=2mv0sin（α+β）qdcosβ

这类问题的共同点是两圆交点与圆心构成四边形的两条对角线互相垂直，且一条对角线被另一条平分，因而可找到许多相似直角三角形，可利用的几何关系和三角函数关系非常多，能列出的方程式也很多。

（二）同轴多面

同轴多面的问题，多是带电粒子进出磁场时速度线过轴线，若带电粒子由内向外运动在磁场区域的轨迹为优弧，相反则为劣弧，解答时把握好这一特点，就能描出正确的轨迹，找到解题思路，顺利解决问题。下面是一个带电粒子由内向外运动的问题。

【问题4】在受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。现有一个环形区域，如图5所示，其截面内圆半径R1=33m，外圆半径R2=1.0m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。已知磁感应强度B=1.0T，被束缚带正电粒子的荷质比为qm=4.0×107C/kg，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用。

（1）若中空区域中的带电粒子由O点沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。

（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间。

解析（略）

答案：（1）v0=1.33×107m/s;（2）t=t1+t2=5.74×10-7s

本题是一与生产生活实际相联系的问题，解答本题既能提升学生能力，又能增长学生的科普知识。关于核辐射学生早有耳闻，但对于防止核反应堆辐射的措施和核辐射的种类学生了解不多，本题中的防辐射原理适用于带电粒子，不带电的辐射成分，需要用其他措施来防止。另外，地磁场对宇宙射线的屏障作用的原理与本题相同，不同的是宇宙射线是由外向内运动，地磁屏障层近似于一个厚壁球壳，地球位于球壳内部。

总之，带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题，虽然题型变化多端，问题的表述篇幅较长，但通过分类解答，可以从中看出解答每类问题的一般步骤和关键所在，触类旁通，以后遇到其他问题就容易找到解题的切入点，使解题变得简单快捷。

参考文献：

[1]姜付锦.带电粒子在复合场中运动的三个问题的再探讨[J].物理通报，2011（2）.

[2]王颜生.“带电粒子在复合场中运动”教学的实例分析[J].连云港教育学院学报，1999（4）.

[3]周忠華.带电粒子在电场中的运动归类[J].物理教学探讨，2007（17）.

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[5]陆永华.高考中“带电粒子在复合场中的运动”命题特点透析：兼谈对2010年备考启示[J].中学物理教学参考，2009（11）.

[6]陈建华，王竹青.谈2011年高考全国理综卷中的一道命题：带电粒子在复合场中的运动[J].物理通报，2012（4）.

作者简介：

王勇杰，甘肃省酒泉市，甘肃省金塔县中学。