中考路径长问题之直线型路径

刘菲芬

摘要：运动轨迹问题是近年数学的中考热点，考查了学生对数学活动过程的探究，并通过数学思考来解决问题的综合应用能力。初中阶段对于线长的求法只有线段和圆弧，因而对于运动轨迹的限定也就只有直线型和圆弧型，所以在只是计算路径长，而无须证明时，可通过描点法大胆猜想求路径：即对目标点描出它的起点、过程点、终点时的位置，连接起来猜想形状，从而求值。而需要对运动轨迹进行证明时，可对直线型路径和曲线型路径进行探索，本文主要研究的是直线型路径。

关键词：中考;动点;路径长;直线型;轨迹

一、目标点到定点的连线与定直线所夹角为定值（定夹角得直线）

【题型剖析】目标点在运动过程中始终到某个定点的连线与某条定直线的夹角保持不变，而这个定点经常就是目标点的起点，这时目标点的运动轨迹就是该目标点与起点所在的直线，即为直线型路径。此时只要找到目标点的起点和终点，路径长为以这两点为端点的线段长。

二、目标点的运动轨迹为三角形（或梯形）中位线

（一）定距离得平行线

【题型剖析】此类题型中，过程点均为线段的中点，过程点在运动过程中到定线段的距离始终保持不变，根据平行线间的距离处处相等，可得过程点的运动轨迹与定线段平行，再加上中点即可证运动路径长为三角形（或梯形）的中位线。另：此类题也可通过四点共圆的几何证法，得角相等，再根据同位角（内错角）相等，两直线平行得中位线。

【方法总结】第一步：求出过程点到定线段的距离（或以过程点为顶点的角与某定角）相等，根据平行线的判定得出过程点的运动轨迹与定直线平行。第二步：找出过程点的起点和终点，根据中位线的定义，判断其运动路径为三角形（或梯形）的中位线。第三步：利用中位线的性质求出路径长。

（二）到两定点距离为定值得垂直平分线

【題型剖析】此类题的目标点常为某定线段的中点，而目标点在运动过程中始终与另一定线段的两个端点距离相等，即目标点的运动轨迹在该线段的垂直平分线上，从而可知该目标点的运动路径为直线型路径，并且起点和终点都为定线段的中点，得目标点的运动路径为这两线段所构成的三角形（或梯形）的中位线。

【方法总结】第一步：证目标点到某定线段的两个端点距离相等（目标点常为两个直角三角形公共斜边上的中点），得出目标点的运动轨迹在该线段的垂直平分线上，从而印证直线型路径;第二步：找出目标点的起点和终点为三角形（或梯形）两边上的中点，得出目标点的运动路径为三角形（或梯形）的中位线;第三步：利用中位线定理求出路径长。

注：本文为2019年度泉州市基础教育课程教学研究课题“基于核心素养下的中考数学微专题整合”（课题编号：QJYKT2019-227）研究成果。

参考文献：

[1]邓文忠.例析中考动点路经长问题[J].数理化学习，2014（1）.

（责编  杨 菲）