抛体运动分析

孟 勇

(合肥北辰教育培训学校有限公司，安徽 合肥 230041)

1 引言

抛体运动是指以一定的初速度按照不同的角度将物体抛出，物体仅在重力作用下所做作的运动.针对不同的抛射角度可以将抛体运动分为竖直上抛、竖直下抛、平抛运动与斜抛运动。在日常生活中抛体运动随处可见，同时在物理教学中它也担当重要的角色，并且该问题也被相关专业学者不断地研究。例如在文献[1]给出了任意时刻抛体运动的曲率半径的表达式。同时在文献[2]中将抛体运动规律直接用于指导体育运动，从而提高比赛成绩。但是作为自然界真实的抛体运动势必会受到空气阻力[3,4]、地球自转[5]、风等影响，所以为了更加真实而全面的反映出抛体运动的规律，本文从牛顿力学的角度对抛体运动进行详细的动力学分析。由只受重力下的理想情况下的抛体运动逐步过渡到真实情况中受空气阻力、科里奥利力、风力下的运动，推导出其在各种情况的运动学方程，从而分析出不同因素对抛体运动产生的影响。

2 只受重力下的抛体运动

针对于图1 所示，从地面出发并只受重力作用下的抛体，易得到其动力学方程：

图1 抛体运动

并由其初始条件

可得到其运动学方程为：

从式(4)～(5)可以看出抛体运动在x轴方向上做匀速直线运动的同时，在y轴方向上做匀变速运动.因此抛体运动是一个匀变速曲线运动。此外由式(4)可以得到

然后将上式代入式(5)中可得到抛体运动的轨迹方程

针对上式对θ进行求导并化简为

然后将上式y'=0 得到

再将式(9)代入式(7)得到抛体运动的包络线方程

然后再令上式中y=0 和x=0 就分别得到了抛体运动最远射程与最大射高

这与文献[6]中所得结果一致。最后根据式(10)～(11)得到包络线的长度，以及与地面所围成的面积

此外为了求抛体运动的轨迹长度与路径覆盖面积，先令式(5)中y=0，得到抛体运动的飞行时间为

然后将上式代入式(4)中得到抛体运动的射程表达式

再通过上式与式(7)可得抛体运动的轨迹长度与路径覆盖面积为

针对于式(17)～(18)可分别对抛射角求导得到轨迹长度与覆盖面积的最大值，以及相对于的抛射角为

同时设置参数

然后根据运动学方程式(4)～(5)以及包络线方程式(10)，在Maple 软件平台[7,8]上制作出如图2 所示的抛体运动的模拟动画。

图2 不同抛射角的抛体运动动画

从上图可以看出以相同的速率按照不同抛射角度抛出的小球从同一位置同时抛出，然后在空中散开,共同形成一个以半径为r=v0t的逐渐变大的圆形,同时这个圆形在y轴方向上做自由落体运动。针对于该现象可以解释为小球在各个方向上以v=v0匀速运动的同时还在竖直方向参与y=-gt2/2的自由落体运动.然后上述两种分运动相互独立又结合在一起，就形成了上述运动。并且还注意到在任何时候所有小球都在包络线下的粉红色区域内运动，这验证了上述求得的包络线方程的正确性。因此通过以上论述也说明了模拟动画的制作可以直观、准确的、全面的反映出抛体运动的规律，达到可视化教学的目的。

3 考虑空气阻力的抛体运动

物体在空气中运动总是会受到与速度成正相关的空气阻力的影响，因此可以设空气阻力的表达式

其中F(v) 虽然不易得出，需要通过实验来确定。但在考虑抛体速率较低时可将空气阻力的大小近似为与速率成正比，即斯托克斯摩擦[9]：

于是在二维空间受到空气阻力下的抛体运动学方程可写为：

为了下文讨论方便，设β=mγ，则式(24)～(25)可改写为：

然后将初始条件设置与式(3)相同，则通过求解式(26)～(27)得到受阻力的抛体运动的运动学方程为：

针对于式(29)中令y(t)=0 。可通过数值求解这个超越方程得到抛体运动的总时间。此外，再对式(28)～(29)中时间t求导得到抛体运动的速度表达式

从式(30)～(31)可得抛体运动的收尾速度为

并且由式(29)和式(30)～(31)可得抛体在任意时刻的动能以及该时刻之前因为空气阻力而损失的机械能

此外,令式(31)等于零，解得抛体运动最高点时间为

再将上式代入式(29)得抛体运动的射高为：

同时由式(28)～(29)可到其轨迹方程：

然后设置参数

考察γ值对抛体运动的影响，如图3 所示：

图3 不同γ 对抛体运动的影响

从图3 可以看出随着空气阻力的增大，抛体运动的射程和射高都逐渐变短了，并且也能观察到当初速度相同时抛射角越大，射高越大.同时还可以发现随着γ的增大，抛体运动轨迹图形的轴对称性逐渐降低，左边宽右边窄。这是因为随着运动的进行，其水平速度逐渐减小，而在上升过程中抛体的竖直速度逐渐减小，所以上升阶段的合速度方向逐渐沿x方向。相反，在下降阶段竖直速度逐渐变大，所以合速度方向逐渐偏向-y轴。因此上升过程比下降过程更“宽”。

4 在地球自转影响下的抛体运动

由于地球是一个非惯性参考系（如图4），所以在真实情况中考虑地球自转，所以抛体在运动过程中除了受到重力和空气阻力外，还要受到科里奥利力这种惯性力的作用，因此根据文献[10]可以列出三维情况下的动力学方程：

图4 地球自转(纬度为λ)

与上文相同令β=mγ，则式(40)～(42)可改写为：

同时设抛体运动的初始条件为

下面通过连续近似法得到该运动学方程的近似解。首先针对于式(43)～(45)首先积分，并代入初始条件式(46)得到

然后将式(47)～(49)中x(u)、y(u)、z(u)用初始条件式(46)中x(0)、y(0)、z(0)进行替换，就能得到一级近似解：

从以上三式可以看出一级近似解就是上文中抛体在只受重力下的运动学方程，并且将这个三式代入式(47)～(49)中x(u)、y(u)、z(u)后积分就能得到考虑空气阻力与地球自转的二级近似解：

然后选取参数

然后画出抛体运动图像，如图5 所示：

作为二级近似解的图像，从图5(a)就足以观察到在x-z平面以不同的抛射角抛射的物体，在往x方向运动的同时因为受科里奥利力的影响产生沿-y方向上的微小位移，这同时也符合北半球运动的物体向右偏的现象。并且在图5(b)中能够观查到相比于图中其他抛射角，以π/4抛射的物体在x方向的射程最远，而从图(c)～(d) 却发现以π/3抛射的物体在y轴方向射程最远，这说明不同方向上最远射程对应的抛射角不一样。

图5 科里奥地力与阻力影响下的抛体运动

针对于二级近似解式(53)～(55)还可以用相同的方式带入式(47)～(49)以求出更精确的三级近似解：

同时再设置参数：

然后通过求式(43)～(45)求出其数值解与通过连续近似法得到结果进行比较，如图6 所示

图6 近似解与数值解的比较

从上图可以发现代表一级近似的竖直上抛运动一开始就偏离了数值解，而二级近似解在运动往-y方向上偏移，也与数值解的差距越来越大.但作为三级近似解在整个抛体过程能较好的符合真实解。这说明随着近似解不停地迭代，能更好的符合抛体真实的运动过程。

5 恒定风速作用下的抛体运动

抛体在真实的运动过程中除了上述讨论的受重力、空气阻力、科里奥利力之外，还可能会受到空气的定向移动的影响，即风的作用。下文就综合上述各种力下对探究水平方向恒定风速对抛体运动的影响。假设风速恒为V，则可以列出下列动力学方程：

为了下文探讨方便设fx=βVx/m,fy=βVy/m,γ=β/m，则上式可化简为

同时设初始条件为

针对式(64)～(66)对时间t进行一次积分，并代入初始条件得到：

由以上三式可以得到:

然后将式(68)～(73)代入式(64)～(66)，并忽略包含有ω2的项（地球自转角速度过小）得到：

最后由初始条件式(67)解以上三式得到其运动的近似解为：

再设置参数：

然后进行与数值解的比较，如图7 所示：

图7 近似解与数值解

从上图可以看出近似解与数值解的图像近似完全重合，说明该近似解的表达式正确。并且从图中还可以发现物体在竖直上抛的过程中受到沿x方向的风时会往x方向的大范围移动的同时会受到科里奥利力的影响往y轴的负方向进行微小的偏移.此外改变风速大小得到如下图像(图8)

从图8 观察到随着风力的增大，抛体不仅在风力的方向上位移增大，而且-y方向上的位移也逐渐变大.这说明沿x方向的风会影响抛体在y方向的运动。

图8 不同风速对抛体运动的影响

同时若在式(77)～(79)中令ω=0，然后对γ进行泰勒展开，得到

从以上三式可以看出当忽略地球自转，并考虑无阻尼情况（γ=0 ），以上三式就过渡到只受重力情况下的竖直上抛运动

从而也侧面验证了式(77)～(79)的合理性。

6 结论

本文从牛顿力学的角度对抛体运动进行了详细的研究，探究了抛体在受重力、空气阻力、科里奥利力、风力等情况下的运动过程.求出抛体在受到这些力作用下的动力学方程的精确解或近似解，并研究与其相关的几何性质。但值得指出的是本文虽然逐层递进的方式来还原真实情况下的抛体运动，但是在考察空气阻力的时候假设阻力与速度成简单的线性关系的情况，而在真实情况中当抛体速度逐渐变大时，阻力会与速度大小的高次方成正比。因此本文在研究抛体运动性质时尚不够全面，需要在以后的研究中更加深入和动态的考察空气阻力与抛体速度的关系。