立足数学课堂，培养抽象概括能力

晁普旗

[摘  要] 文章结合多个课例，分别对教师的良好示范、巧妙设问、归纳类比以及引导学生归纳总结进行分析，探讨了抽象概括在数学活动中的作用，并提出了以“抽象概括”为切入点，落实“数学抽象”这一数学素养的思考.

[关键词] 抽象概括能力;巧妙设问;归纳类比

抽象概括不仅是数学学科本身最重要的思维形式，同时也是解决问题中的一项关键性能力，因此抽象概括能力的培养是数学教育的一项重任. 数学学科特征决定了抽象概括能力的重要意义，高中数学知识繁杂程度较初中更大，要学好数学除去不断努力还需牢牢把握问题特征，自觉排除一些非本质因素的干扰，进一步深入分析和综合，从而有效突破问题本身[1]. 新高中数学课程标准提出了包含数学抽象在内的六大数学核心素养，从而定位了抽象概括对于数学学科的重要性，那么高中学生的抽象概括现状如何？如何才能与新课程标准相匹配？相较于初中生，高中生的抽象概括能力自然已经提升到了一个新的高度，然尚处于缓慢发展的状态，这就必然需要广大数学教育者在平日的教学中关注到引导的有效性. 文章结合相关案例，通过多个片段进行分析，为高中生抽象概括能力的培养提供一定的参考和建议.

抽象概括的起始点：教师的良好示范

学生习惯于以形象思维作为主导，具体的感知易促进学生思维的深化. 因此，教师需从学生的这一思维特征着手，做好良好的抽象概括示范，让学生在抽象概括时“有法可依”，借助他们鲜活的形象思维来逐步向抽象概括过渡，从而认识到抽象概括是数学的“有利武器”，这是发展数学抽象的起始点.

案例1：“直线与平面平行的判定”的教学片段.

师：在生活中，有哪些具体事例与直线与平面平行有关呢？

生1：墙边竖立的路灯与墙面，阳台上的晾衣架与天花板，等等.

生2：还有门在打开或关闭中离开门框的任意位置，其边缘线与门框的平面始终平行.

师：非常好！可以给大家演示一下吗？

学生到教室门前进行演示，接着教师再借助多媒体动画演示，使学生形成深刻的感知. 然后教师演示，请学生观察教师与四周墙面的关系：第一种，教师直立于讲台前，学生很快观察到“与四周墙面平行”的情形;第二种，教师向前倾斜或者向后倾斜，学生很快观察到“此时与左右墙面依然平行”的情形;第三种，教师向左倾斜或向右倾斜，学生同样观察到“这时与前后墙面平行”的情形.

师：在以上演示的过程中，哪些因素导致了直线与平面位置关系的不同呢？

生：不知道（不熟悉概念）.

师：事实上，在感知直线与平面是否平行中，需要关注到以下三个因素：第一，平面外的一条线;第二，平面内的一条直线;第三，它们是平行关系.

师：若平面外一直线a与平面α内一直线b平行，直线a与平面α是否平行？

生：平行.

师：很好，那我们一起来归纳一下这一判定定理（多媒体演示直线和平面平行的判定定理）. 可以简单概括为：线线平行？圯线面平行，也可以用符号这样表示：a？埭α，b？奂α，？圯a∥α.a∥b

设计意图：数学概念有多种引入方式，教师从学生的心理特征出发，创设了问题情境与操作情境来激发学生学习“直线与平面平行”的求知动机，让学生觉得数学课“很有意思”，让学生从具体材料中抽象出数学中“数”与“形”的相互关系，在教师严谨的叙述表达中，利于学生新知的建构，也使学生对这一判定定理“回味无穷”.

抽象概括的着力点：巧妙设问

出色的提问可以帮助学生理清概括的思路，培养勤于思考的习惯，启发数学思维，让学生在思考中实现抽象素养的提升. 由此可见，巧妙设问是提升学生抽象概括能力的着力点，通过提问让学生经历数学发现的过程，让学生的思维得到锻炼，并真正意义上使学生在实践中将抽象概括内化为能力[2].

案例2：求函数y=+（0

师：高中数学中有几类重点题型，而以上这道求函数最值问题则是高中的热点问题. 大家一起来思考这道题的求解方法.

生1：据题意，可得与均为正数，这里可以直接利用均值不等式求解，则有y=+≥2=2，所以该函数最小值为2.

生2：不对，生1的解法存在问题，这里要取到最小值则需要=，则sinx=2，显然这里是不可能的，所以等号不成立.

师：很好，生2的解说很正确. 在利用均值不等式求最值时验证等号是否成立是不可遗忘的步骤，那么显然这种解法不可取，这道题该如何求解呢？

生3：我认为可以借助换元法，令t=sinx∈（0，1），原函数可变为f（t）=+，易得函数f（t）在t∈（0，1）上为减函数，则y的最小值为f（1）=.

生4：对的，我也是这样求解的.

师：这种方法求解是正确的，不过此处f（t）=+的单调性求证过程需补上，不可忽视.

生5：我認为这种解法对是对，就是太麻烦了，是不是有其他方法呢？

师：的确烦琐了一点，有更简捷的求解方法吗？

生6：可以将原函数转化为y=++，据x∈（0，π），可得0

师：非常精彩的解法……

设计意图：本题是均值不等式学完后，教师针对学生易忽略检验而频繁出错所选用的习题. 要真正在课堂上落实能力的培养，应该先从不断设问开始. 巧妙设问的功能是引发学生的数学思考，这样学生就在具体易错的情节中深化对其的理解与应用，而这样生成的数学抽象才是最深刻的.

抽象概括的助推点：归纳类比

不少定理、公式及其证明都离不开归纳类比，教师只有不失时机地进行渗透，才能使学生逐步感知并运用好这一方法培养抽象概括能力. 因此，归纳类比的过程，是培养学生抽象概括能力的典型素材.