一类食饵有传染病的捕食者-食饵模型的动力学分析

刘宣亮，熊 艳

(华南理工大学数学学院，广东 广州 510640)

1 数学模型

近几十年来，人们在种群动力学和传染病动力学方面做了大量的研究工作，随着研究的深入，疾病在种群之间传播的生态-流行病模型也引起广泛的关注和研究[1-7]，如文献[3-4，7]研究了疾病在食饵中传播的捕食者-食饵模型，文献[5-6]研究了疾病在捕食者中传播的捕食者-食饵模型.本文考虑疾病仅在食饵者中传播，且具有垂直传染和饱和传染率的一类捕食者-食饵模型：

(1)

为简化模型，做如下变换：

则由方程(1)可得到系统

(2)

2 解的有界性

(ⅰ)若s(τ)+i(τ)≥1对任意的τ≥0都成立，则当τ→+时，(s(τ)，i(τ)，y(τ))→(1，0，0)或(s(τ)，i(τ)，y(τ))→(0，1，0)；

(ⅱ)若存在某个时间τ0≥0，使s(τ0)+i(τ0)<1，则当τ>τ0时，s(τ)+i(τ)<1.

证明：(ⅰ)对于任意的τ≥0，s(τ)+i(τ)≥1.由系统(2)的前两个方程可得

(3)

矛盾，所以有

(4)

由方程(3)、(4)有

(ⅱ)若存在τ1>τ0，使得s(τ1)+i(τ1)=1，则有

于是当s(τ0)+i(τ0)<1时，对τ>τ0，有s(τ)+i(τ)<1成立.证毕.

证明：令X(τ)=a3(s(τ)+i(τ))+y(τ)，则

-a4(a3s+a3i+y)+a3[(a1+a4)s-a1s2+(a2+a4)i-a2i2)]≤

a3(s(τ)+i(τ))+y(τ)≤max{a3(s(0)+i(0))+y(0)，Q}，

3 边界平衡点及其稳定性

(ⅰ)平衡点P1(0，0，0)和P2(1，0，0)总是存在且是不稳定的.

(ⅱ)平衡点P3(0，1，0)总是存在，当a3a4时，P3是不稳定的.

4 正平衡点及其存在性

(5)

5 正平衡点的分支

(6)

下面讨论系统(6)在正平衡点P0(s0，i0，y0)附近的Hopf分支和Bogdanov-Takens分支.

系统(6)在正平衡点P0处的雅可比矩阵为

其中：

其对应的特征方程为

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0，

(7)

其中：c1=-(a+d)，c2=ad-bc-ef，c3=aef.

5.1 Hopf分支

对系统(6)作如下变换

v1=s-s0，v2=i-i0，v3=y-y0，

则系统(6)变为

(8)

其中：V=(v1，v2，v3)T，F(V)=(F1，F2，F3)T，

若矩阵A1的特征方程(7)有一对纯虚根±iω0(i为虚数单位，ω0>0)，将iω0代入方程(7)，可得c1c2-c3=0，即

Δ=-a2d-ad2+abc+bcd+def=0.

(9)

由系统(8)的非线性项以及文献[9]，取关于x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T和z=(z1，z2，z3)T的对称多线性向量函数

根据文献[9]中一阶Lyapunov系数的计算公式：

可求得l1(0).但由于l1(0)的表达式太长，不易讨论其正负.下面取一组特定的参数值来计算l1(0)，从而得到此时的Hopf分支的方向.

故在正平衡点P0附近有超临界Hopf分支产生.当0

5.2 Bogdanov-Takens分支

设系统(6)在正平衡点P0(s0，i0，y0)的特征方程(7)有两个零特征值，于是有

c2=0，c3=0，

则有

a=0，bc+ef=0.

此时特征方程(7)的特征值分别为0、0、-c1，且-c1=d<0.

将上式代入bc+ef=0，可得

其中：X=(s，i，y)T∈3，U=(a1，a2)T∈2.记则F(X0，U0)=0，DF(X0，U)=A1.F(X，U)在(X0，U0)处的泰勒展开式为

F(X，U)=DF(X0，U0)(X-X0)+FU(X0，U0)(U-U0)+

注意到b0c0+ef=0，由A0p1=0，A0p2=p1，A0p0=d0p0，可得

现规定记号如下：

利用文献[10]，计算可得

(q2·(FUX(X0，U0)-(A2FU(X0，U0))TD2F(X0，U0)))p1=

其中：

(10)

(11)

其中：

由文献[10]，可得如下结论：

(ⅱ)有Hopf分支曲线：H={(λ1，λ2)：η1=0，η2<0}；

相应的分支曲线如下：

6 结 论

本文对一类食饵有传染病且有垂直传染的捕食者-食饵模型进行了动力学分析，首先得到了模型的解的有界性，即随着时间的增加，捕食者、易感食饵及染病食饵的数量都是有界的，然后讨论了正平衡点的Hopf分支和Bogdanov-Takens分支.

根据5.1节的Hopf分支的结论可知：当初值和参数适当选取，模型(2)可产生稳定极限环，即随着时间的增加，易感食饵、染病食饵和捕食者数量呈周期性变化而不消失.根据5.2节的Bogdanov-Takens分支的结论可知：当参数选取适当，可分别出现三种分支曲线SN、H和HL，表明模型(2)除可由Hopf分支产生极限环外，还可通过鞍结点分支产生两个正平衡点(即有地方病出现)，以及通过同宿分支出现同宿轨和产生极限环，即模型中易感食饵、染病食饵和捕食者数量将产生周期性震荡.