初中学生“认知图式”发展的数学心理过程探析

唐萍 刘根厚

摘    要：认知图式发展的过程主要是通过同化、顺应和平衡等心理过程完成的，涉及动作式表征、图像式表征和符号式表征.教师应该探析初中学生数学认知图式发展的心理过程，在教学中培养学生系统的数学思维，将“知识结构”转化为“认知结构”，构建以概念关系表征为心理本质的初中数学课堂教学策略.

关键词：认知图式;数学心理过程;课例研究

在认知心理学研究范畴，数学心理过程包括陈述性心理过程、程序性心理过程和过程性心理过程.陈述性心理过程就是获得陈述性知识的图式，程序性心理过程就是建立程序性知识的双向产生式和产生式系统，过程性心理过程就是形成过程性知识的关系表征和观念表征[1].现代认知心理学认为，人的复杂的整块知识是用图式来表征的，产生式系统是图式演进的思维状态，是以“如果，那么（if/then）”思维形式存在的，因此发展“认知图式”是数学课堂教学的根本任务，具有“定盘星”“导航仪”和“方向盘”的作用.换句话说，营建以认知图式的发展为心理起点，以产生式形成为心理过程，以概念关系表征为心理本质的课堂教学策略尤为必要.

本文以研究“二元一次方程”概念起始课为探究载体，以知识的获得、保持与迁移为思维目标，探析认知图式发展的心理过程，落实“关键能力”的培养目标.初中阶段学生的认知图式发展主要是通过同化、顺应和平衡等心理过程完成的，涉及动作式表征、图像式表征和符号式表征，这有助于学生的知觉力、表象力和数学思维的梯度发展，进而培养学生的系统思维，将“知识结构”转化为“认知结构”，这就是数学学习的心理本质.

一、一种认知图式得以同化的心理过程        动作式表征有助于知觉思维的概括

数学学习的心理过程起于动作式思维表征，成于同化图式心理过程的建立，终于知觉思维的有质量概括.在认知发展心理学看来，动作式表征是用合适的动作反应来表示对世界的理解，是陈述性图式的概括状态.比如，日常生活中的“带路行为”就是一种动作式表征图式;数学课堂教学中的“数学实验”就是动作式表征的实践方式，是知识得以同化的行为路径.具体来说，在数学学习过程中，动作式表征是数学陈述性心理过程的起点，是认知图式得以发展的思维导火索.表现在三个层面：一是“做数学”的动作表征，让学生在“做”中形成同化心理就绪的思维准备状态，有助于心智技能的形成;二是“说数学”的动作表征，让学生在说数学中形成“数学地思维”和“思维地数学”，有助于概念图式形成目标的达成;三是“想数学”的动作表征，是一种知觉思维，让学生在“数学地想数学”中，建立知识图式表征和概念关系表征，实现认知同化的先行作用，进而改善认知结构的“非平衡”状态.日常数学教学中的“举一反三”就是认知同化的常见表现方式.“你能再写出几个具有类似特征的例子吗？”就是同化认知图式的常见表现形式.换句话说，动作表征是同化认知图式的基本路径（画图等），能让学生有效地将新知纳入到已有的认知结构，实现认知结构的丰富和充实.

在数学教学中，认知图式是心理发展中极为重要的组成部分，涉及知觉、思维、智力等方面的变化.可以说，数学认知发展的过程就是认知图式的演进过程.比如“二元一次方程”正整数解的产生过程，就是通过“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数”来完成的概念同化过程.其中，“知觉→思维→智力”的发展过程，就是知觉图式（如何确立二元一次方程的一个解）、思维图式（二元一次方程有无数个解的关系）以及智力图式的发展（二元一次方程的“无数个解”能组成一条直线，有“点动成线”的理解智慧）.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，要把每一节的知识放在整体的角度加以理解，让学生在整体与局部思维图式的参与下，实现系统把握知识;对于某些知识，可以引导学生从不同层次、不同角度加以认识，形成结构化知识，这就是认知图式同化的常见样例.为此，数学教学的过程就是认知图式的发展过程，即“概念图→知觉经验→整体结构”，进而促进学生的“陈述图式”转化为“认知发展”.

【认知图式同化的实践样例】在研究“二元一次方程”概念发生模块，我们就是基于同化图式发展知觉的概括作用.具体来说，笔者设置了两个梯度问题情境，称为一级问题情境和二级问题情境.一级问题情境：学校举行环保知识竞赛，规则如下：答对1题得4分，答错1题扣1分.小明在这次竞赛中回答了10个问题，共得25分，小明答对了几题？答错了几题？这一问题怎样用一元一次方程来描述答对（或答错）的题数与得分之间的相等关系呢？二级问题情境：学校举行环保知识竞赛，规则如下：答对1题得4分，答错1题扣1分.小明在这次竞赛中共得25分.你能确定小明答对几题吗？为什么？

【设计意图】一级问题情境的设置旨在让学生自然衔接“一元一次方程”，站在“一元一次方程”思维图式的基础上，建立“二元一次方程”概念体系;二级问题情境的创设旨在让学生知觉“二元一次方程”发生的必要性.正如我们在有理数范围内无法分解因式[x2-3]，有必要引进“无理数概念”，实现在实数范围内因式分解目标，[x2-3][=（x+3）（x-3）].就这一认识来说，二元一次方程概念图式的建立过程就是知觉认知发展的过程，可以倒逼学生产生需要学习的心理状态，这就是动作表征的准备心理狀态.

另外，一级问题情境的呈现，能让学生基于一元一次方程解决现实问题，一方面有助于知识衔接，另一方面有助于后续类比一元一次方程知识体系，研究二元一次方程的知识体系，具有预热方程认知图式的作用.如果说，一级问题情境是动作表征发生的思维地基，那么二级问题情境是知觉思维的表现形式，则“一级→二级”是概念图式发展的起点，这有助于学生在认知发展中获得认知图式的发展，在知识同化中形成结构概念的能力，实现知觉理解走向关系理解，将动作转化为技能与智慧.

二、一种认知图式得以顺应的心理过程        图像式表征有助于表象思维的可逆

图像式表征是程序性图式就绪的积极心理状态，是概念、规则、命题形成的必要心理条件.常见的图像式表征就是让学生基于已有经验，体验从实际背景抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题.就像“二元一次方程”概念的建立过程，而“环保知识竞赛（上述实践样例）→抽象数学问题→形成数学关系”就是图像式表征的常见思维形态.由于个体认知图式的状态不同，内部概念结构的思维水平不同，在学习新知时，往往需要改善已有的图式以适应新的环境（皮亚杰称之为顺应）.就这一认识来说，认知图式发展的过程就是认知心理水平得以顺应的过程.尤其是程序性认知图式的发展，学生的认知结构水平和思维环境之间，在“半平衡”思维的参与下达到了新的平衡，这种平衡的过程一直持续下去，学生的认知能力就不断得到发展.比如，在建立了“二元一次方程”概念图式的基础上，如果学习“二元一次方程组”，则需要再次进行“思维顺应”.在学生建立了完形的“二元一次方程组”的概念图式，后续建立“一元二次方程”概念表象，需要进行再次“思维顺应”.这里的图像式表征，必须从两个维度进行：一是基于“一元一次方程”认知图式，建立“一元二次方程”表象;二是基于“二元一次方程”认知图式，建立“一元二次方程”表象，这种叠加式图式结构的建立，需要建立思维顺应和思维表象，方能建立完备的概念体系结构，形成可逆的“数与代数”概念图式.

就数学活动心理来说，图像式表征主要是用表象来表示对世界的理解（经历的人、事有清晰的印象）.函数图象、方程模型、数学关系式、各级各类统计图以及数学关系表格及其背后的数学方法体系等都是图像表征的结果状态，是一种程序性图式的心理过程.也就是说，数学教学中程序性图式建立的质量，支配着学生的认知水平、速度和效率.学生对“一元一次方程知识体系”的可逆表征水平，影响后续“二元一次方程”概念表象体系的建立.这就是程序性图式发挥支配作用的表现形式.一般情况下，表象式表征是靠“样例学习”和“问题解决”两种方式来实现的.数学课本中的“例题及其分析”就是“样例学习”的最常见呈现方式.实践证明，学习者的经验作为影响图式获得的独立变量，“样例学習”或“问题解决”的效果依赖于学习者经验的水平.就图像表征认识论来说，“样例学习”的本质就是建立“会一题、通一类、连一片”的可逆表象系统，“问题解决”就是“独立思考→学会思考”的思维顺应，是程序性心理图式建立的基本单元.基于此，在借助图像表征发展程序认知图式的过程中，需要做好三个层面的思维工作：一是用好样例学习，让学生建立概念表象;二是做好问题解决，让学生体验程序性认知图式建立的心理过程;三是顺应经验现实，让学生基于已有认知图式，建立完形的概念表象体系，形成结构性知识图式，建立是什么、怎么样和为什么的整体思维样态和可逆思维行为.

【认知图式顺应的实践样例】在研究“二元一次方程”概念形成模块，基于“问题解决”建立图像式表征，在样例思维的引领下，在顺应思维的参与下，落实可逆思维及其表象思维体系的建立.具体问题组块：（1）篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分.在某次中学生篮球联赛中，某篮球队赛了若干场，积20分.问该球队赢了多少场？输了多少场？你是怎么知道的？经历上述活动，你发现了什么？（2）某球员在一场篮球比赛中共得35分，其中罚球得10分.他投中了两分球多少个？三分球多少个？为什么？（3）让学生基于已有经验，抽象表征出数学概念，再写出几个具有类似特征的方程，以此落实类化概念的目的.

【设计意图】问题（1）的设置，旨在让学生体验二元一次方程概念的存在特征，为二元一次方程图像式表征的建立做好铺垫;问题（2）的设置，让学生基于“一元一次方程”的图像式表征，在顺应思维的帮助下，建立二元一次方程思维表象及其心理表象体系;问题（3）的设置是让学生在可逆思维的支配下，实现对二元一次方程正整数解的理解，为后续“二元一次方程组”的学习铺设思维路基.在图式发展的心理过程中，图像式表征的本质就是数学关系表征的常见范式.数学关系是数学对象所具有的思维活动赖以生存的条件，是“数学对象间可以确切定义的关系”[2].就这一认识来说，图像式表征包括概念的发生、概念的顺应、可逆图式的过程以及“半稳态”数学能力系统的演进，因此图像式表征是学好数学的关键.

三、一种认知图式得以平衡的心理过程        符号式表征有助于数学思考的补偿

数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号运算与逻辑推理的科学[3].符号表征是符号推理的重要形式，是数学作为工具的表现形式之一，是数学核心素养孕育的“母基”.就大尺度符号化思想来说，符号表征是数学建模的外在形式，是学生认知图式不断平衡的标志.这种“平衡→不平衡→平衡”的思维过程，就是一种过程性心理图式演进的基本方式，有助于数学思考的层次性补偿.数学教学中，描述性数学概念，“像这样的……叫作……”就是符号表征的思维产物.比如，“方程[2x+y=20]、[2x+3y+10=35]，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程，叫作二元一次方程”就是符号表征的常见形式.就数学思考的补偿作用来说，符号式表征是数学学习的重要目标，是监测学生知识获得质量的一把标尺.“小结与思考”就是课堂教学的常见表征形式，有助于学生建立完备的概念图式，能发挥补偿与平衡思维作用.在核心素养发展范畴，符号式表征就是用数学的语言表征世界，是学生理解数学的关键.也是我们常说的“一般化思想”，是数学中考考查的重要视角.

过程性心理图式蕴含在数学活动的巧妙设计中，学生的心理活动表征，一般有两类：一类是外部数学活动（行为表征），另一类是内部数学活动（认知表征）.在《义务教育数学课程标准（2011年版）》看来，符号表征是指运用符号表示数、数量关系和变化规律，是通过用语言符号表示对世界的理解;同时，使用符号进行运算和推理，得到的结论更具有一般性.数学公式就是一种符号表征的产物.符号表征分为行为表征、认知表征和情感表征.就初中阶段数学学习心理过程来说，行为表征就是“做数学”，认知表征就是“说数学”，情感表征就是“想数学”，这样平衡认知图式的过程，有助于学生形成系统概念图式.比如，数学活动的呈现，能让学生经历数学家发现概念定理的曲折过程，切实体验“陈述性→程序性→过程性”的微言大意.这也是英国数学家德·摩根（A. De Morgan，1806—1871）强调的数学教学中的历史次序，认为“教师在教代数时，不应该一下子把新符号都教给学生，而是应该让学生按照历史的顺序去学习符号”[4]的根本原因.基于这一认识，在平衡学生思维图式的过程中，需要做好三个维度的符号表征工作：一是正反例证，让学生知道来龙去脉;二是类比思想方法，让学生表征概念的关系体系;三是用以致学，让学生形成双向产生式系统，进而发展认知图式的再平衡状态.

【认知图式平衡的实践样例】在研究“二元一次方程‘结课模块”，就是基于符号表征，在平衡思维的多次参与下，落实认知图式发展和数学思考的深度进行.首先让学生举例表征对二元一次方程及其概念体系的理解;其次是让学生类比一元一次方程的章节体系，猜想二元一次方程应该研究哪些内容的问题;最后是让学生体验“中考链接”视角，即一辆汽车从A地驶往B地，前[13]路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程（可以提出如下问题：试问汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少时间？解答方案略）.

【设计意图】“举例说明”是一种对做数学的行为表征，“类比思想”的使用是一种大尺度说数学，能让学生在认知表征中获得系统图式，“用以致学”是一种情感表征，是想数学的基本途径，促进了认知图式的再平衡.

二元一次方程概念是一个符号工具，其内容是关于二元一次方程符号“所指何物”的知识，是方程符号系统和不同情境中两个变量的具体关系所组成的“符号指称系统”.因此，概念是认知图式的顶层思维，需要探析，需要发展，更需要表征关系，方能让学生形成“入乎其内，出乎其外”的心理过程.

参考文献：

[1]黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（3）：40-43.

[2]任旭，夏小刚.问题情境的创设：基于思维发展的理解[J].数学教育学报，2017（4）：15-18.

[3]史宁中，孔凡哲.关于数学定义的一个注[J].数学教育学报，2006（4）：37-38.

[4]蒲淑萍，汪晓琴.学生对字母的理解：历史相似性研究[J].数学教育学报，2012（3）： 38-42.