网络画板在圆锥曲线定点定值问题中的应用

康姣

新课标下的高中数学，越来越重视对学生综合素质的考察，圆锥曲线中的定点定值问题便是考查学生综合数学素质的一个重要途径.此类问题不仅涉及圆锥曲线的定义、直线与圆锥曲线的位置关系，还牵涉到函数，方程等代数方面的知识.它最大的特点是难以理解，难以想象，计算量大，这使得学生一遇到这类问题就望而止步.网络画板的应用使得本身很枯燥的课堂瞬间有了活力，让学生可以在直观上理解这类问题，提供了“探究-证明”的授课方式.先让学生产生兴趣，再授以解决这类问题的一般方法，相比传统的教学方法效果更好，也更能让学生接受.下面以几个典型例题为例来讲解.

一、定点问题

例1：已知椭圆C：x24+y23=1，若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为AB直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

探究：作出椭圆x24+y23=1的图像，在其上取一个点A，连接右顶点M和A，作直线MB⊥MA且和椭圆交于点B，通过运动A点可发现直线AB恒过定点P，此过程让学生产生了浓厚的兴趣.然后再讲解此类问题的一般方法：设直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，消参，利用韦达定理，找到k与m的关系，代入直线方程，从而得到定点坐标.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m3x2+4y2=12得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

Δ=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）>0，即3+4k2-m2>0，

x1+x2=-8mk3+4k2，x1·x2=4（m2-3）3+4k2.

y1·y2=（kx1+m）·（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=3（m2-4k2）3+4k2.

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M（2，0），且kAM·kBM=-1，

∴y1x1-2·y2x2-2=-1，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，即3（m2-4k2）3+4k2+4（m2-3）3+4k2+16mk3+4k2+4=0，

整理得：7m2+16mk+4k2=0，解得：m1=-2k，m2=-2k7，且满足3+4k2-m2>0.

当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾;

当m=-2k7时，l：y=k（x-27），直线过定点 P（27，0）.

综上可知，直线l过定点，定点坐标为P（27，0）.

总结：本题为“弦对定点张直角”的一个典型例题，可以推广到以下两种情形，再通过网络画板进行验证.

（1）过圆锥曲线如椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点M（x0，y0）作两条相互垂直的直线MA，MB，分别交圆锥曲线于A，B两点，则直线AB必过定点P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2）.

探究：先构造两个变量a，b，作出椭圆x2a2+y2b2=1，在其上取两个点M，A，连接MA，作直线MB⊥MA且和椭圆交于点B，不论a，b取什么值，通过运动A点可以发现直线AB恒过定点P（x0（a2-b2）a2+b2，-y0（a2-b2）a2+b2），其中M的坐标为（x0，y0）.

（2）“手电筒”模型：过圆锥曲线上任意一点M（x0，y0）作两条直线MA，MB，分别交圆锥曲线于A，B两点，只要给定一个限定MA与MB的条件（如kMA+kMB=定值，kMA·kMB=定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手電筒模型）.

探究：先构造三个变量n，a，b，用一个隐函数方程if（n=1，x2/a2+y2/b2-1，if（n=2，x2/a2-y2/b2-1，y2-2px））表示三类圆锥曲线，在其上取两个点M和A，连接MA，作直线MB，和圆锥曲线交于点B，在kMA+kMB和kMA·kMB为定值的条件下，我们通过运动点A发现直线AB恒过一个异于M的定点，变换n，k的值和M的位置，发现结论依然成立.

通过动态展示，学生在直观上更容易接受这个结论，可以鼓励学生按照例1的方法去证明，从而加深学生对这种题型的理解，掌握解题技巧.

二、定值问题

例2：已知椭圆C：x24+y22=1，若A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足MA2⊥A1A2，且MA1交椭圆C于不同于A1的点R，求证：OR·OM为定值.

探究：作出椭圆x24+y22=1，在直线x=2上取一个点M，连接A1M，和椭圆交于点R，连接OR和OM，运动点M，我们发现不管M点运动到哪个位置，OR·OM都为定值4.

证明：由题意可知，A1（-2，0），A2（2，0），设R（x1，y1），则直线RA1的方程为：y=y1x1+2（x+2），令x=2，得M（2，4yx1+2），所以OR·OM=（x1，y1）·（2，4yx1+2）=2x1+4y21x1+2=2x21+4y21+4x1x1+2，

又因为点R在椭圆上，故满足椭圆方程x214+y212=12x21+4y21=8代入上式，可得OR·OM=4即OR·OM为定值.

总结：本题中A1是一个固定的点，对于任意一点A，我们可以推广到以下一般情形：

（*）设A，B是有心圆锥曲线x2a+y2b=1（a>0，b≠0）上关于x轴对称的两个点，P是曲线上异于A，B的任意一点，若PA，PB分别交x轴于M，N两点，则OR·OM为定值a.

探究：圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，应先构造两个变量a，b，作出有心圆锥曲线x2a+y2b=1的图像，在其上取两个点A，P，作出点A关于x轴的对称点B，连接PA，PB分别交x轴于M，N两点，通过运动点P，可发现OR·OM=a，变换a，b的值，结论依然成立.

圆锥曲线定点定值问题博大精深，如果仅仅告知学生结论，学生很难在已有的认知水平内理解和接受，网络画板的辅助应用，可以对学生进行启发式教学，引导学生自己去探索，还可以实现课上到课下的延伸，激发学生的学习兴趣.

责任编辑 罗峰