《数学游戏大观》：民国时期数学科普界的拓荒之作

李春兰，于金霞

《数学游戏大观》：民国时期数学科普界的拓荒之作

李春兰，于金霞

（内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022）

数学科普读物作为数学知识普及、数学文化传播的主要途径具有很强的传承性，中国数学科普读物的崛起始于民国时期，而民国时期的数学科普巨匠陈怀书的代表作《数学游戏大观》是中国近代史上数学游戏专著的奠基之作，开启了图文并茂、引进世界名题之先河，为后人的研究提供了线索和思路，对中国数学科普事业的蓬勃发展及数学文化的广泛传播起到了牵引作用．在简要概述该著作的基础上，论述该著作的特点和历史地位，以此来纪念陈怀书先生，以期更多的数学专业与非数学专业的读者在数学文化的熏陶下进行再创造．

陈怀书；《数学游戏大观》；数学科普；民国时期；数学文化

1 陈怀书简介

陈怀书（1884.10.22—1951.6.10）字容普，江苏吴江人．自1913年毕业于南洋大学堂（今上海交通大学前身）机电科之后，在扬州第五师范、扬州八中任中学数学教师14年，在此期间他撰写并出版了数学科普著作《数学游戏大观》（商务印书馆出版，1926年），还著有两册教科书及其答案，即《中学速算法教科书》《新师范算术教科书》《新师范算术教科书问题答案》（19世纪20年代末均由中华书局出版）；1928年回到母校上海交通大学工作近十年，为土木工程学院的学生开设数学课，在此期间参与翻译日本著名数学家林鹤一的作品《初等几何作图不能问题》，编写高等中学甲组用教科书《解析几何学》，发表《初等几何切环一题的讨论》《一排列问题之问答》等系列文章，1935年7月被评选为中国数学会评议会评议；抗战期间任南洋模范中学数学教师，直到1950年退休；一生任教37年，1951年病逝于上海[1]．

陈怀书任教一生硕果累累，培养了大批杰出的人才，如著名无线电子专家朱物华（1902—1998，江苏扬州人，无线电子学家，水声工程专家）、著名数学家吴文俊院士、著名数学家莫叶（1914—，长期从事复变函数的教学和研究，编著有《复变函数论》和《勒襄特函数论》）年少时都曾师从陈怀书学习数学，著名核物理学家黄祖洽（1924—2014，主要从事核理论、中子理论、反应堆理论、输运理论及非线性动力学等研究）年少时候也曾受到陈怀书的数学科普读物的熏陶．

陈怀书是一位十分重视培养学生学习兴趣、善于发现学生数学才能的教师．在扬州第八中学任教时他是朱物华的数学老师，他发现朱物华有很高的数学学习天赋，便单独为学有余力的朱物华讲授英文版算术，并在课下对他做特殊培养[2]．当然，他不仅善于培养学有所长的学生，他也勤于思考如何教授天资稍逊和厌恶数学的学生，他认为教师要做到的不仅是按时登台授课还需要深刻反思，对于有数学天赋的学生应该通过扩充知识面来拓展学生的思维；对于资质稍逊的学生，教师在教授时应多使用通俗的话语，多次带领学生重复练习，学生也定能领会知识要领；对于厌恶数学的学生，主要原因是教师的教授方法有问题，教师应试图激发学生的学习兴趣．陈怀书也是一位藏书家，他曾收藏了一些珍贵稀有的国外经典数学科普名著，然而在动荡战乱的时代中国藏书家的命运是悲惨的，他的书籍也遭受了战火的摧残，他曾经收藏的一本英文原版数学科普名著（由英国数学家W. W. Rouse Ball所著，1982年发行初版，随后再版修订12次，并印十几次）在解放后就被谈祥柏先生（1930—，数学家，数学科普作家，同张景中、李毓佩被誉为“中国数学科普三驾马车”）在旧书摊上收集到，这是一部横跨国界、竖跨世纪的数学科普名著，谈祥柏先生一边庆幸地称这本书是“河辙之鱼复归大海”，一边又失落地讲到“陈、孙（陈指的是陈怀书，孙指的是华东师范大学数学系主任孙泽瀛）两公的大量藏书，到我手里的，充其量不过是千分之一二，还有更多的善本，则恐怕是难逃劫数”[3]．

2 《数学游戏大观》内容简介及特点分析

2.1 内容简介

《数学游戏大观》第一版1926年由商务印书馆出版发行，共有上下两册，上册是问题篇，下册是答案篇．书影见图1，自1926年出版后，在1930、1932、1934、1935年4次再版，可见该著作之畅销及影响不凡．全书共搜集了559则算术、几何和代数游戏，作者尽量将这559则数学游戏按照其内容和数学原理划分为20类，并为每一则数学游戏都取了简短奇妙的名字（见表1）．虽然从《数学游戏大观》的首次出版距今已有92年之久，但“宝刀未老”，2015年1月这部著作经杨禾改编，将书中的古汉语翻译为现代文，由上海普及出版社再次出版，至今依旧畅销，可堪称历时百年、经久不衰．

图1 《数学游戏大观》书影

2.2 特点分析

2.2.1 内容广博且题材来源广泛

《数学游戏大观》中包含算术、几何、代数、排列、组合、概率、幻方等各类游戏，书中的内容极其广博，“勾股定理”“七巧板”“益智环”（即九连环）、中国古代商贾中应用的数学知识、供王公贵族消遣的数学趣题、平民百姓日常生活中的数学故事等云集于此书；著作中还收录了来自世界各地的数学游戏，如：“西班牙黑牢”“西伯利亚黑牢”“土耳其国旗”“英国勋章”“法国监狱趣闻”“柏林修道院教堂”“沙特尔大教堂”，等等；对出自欧几里得、阿基米德、苏格拉底等古希腊大数学家之手的几何和代数谬误也有所涉及．

表1 《数学游戏大观》内容概述

图2 乘法游戏

图3 英国国旗

图4 家族晚宴

图5 钟表问题

虽然该著作中没有具体标注著书时的参考资料，但是从书中的数学游戏内容可以分析出作者采集了大量的国内外经典著作中的数学游戏．除引用中国传统的“七巧板”“九连环”“勾股定理”之外，还引用过出自英国数学谜语大师杜得尼（Henry Emest Dudeney，1857—1930）（杜得尼是英国数学家和制谜大师，专攻数学谜语和逻辑谜题，1903年成功解决哈贝达舍【Haberdasher】难题，即切割一个等边三角形为4个部分，可重新组合成为一个正方形）之手的“猫捕鼠游戏”；著作中的河内塔（也称梵塔）、幻方、一笔画问题、几何悖论等，最早皆出自劳斯·贝尔（W. W. Rouse Ball，1850—1925）所著的．

2.2.2 图文并茂地点燃对数学火热的思考

罗素曾说过：“数学不但拥有真理，而且拥有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷峻严禁的美……”[5]但中国数学教育家张奠宙先生也曾说过：“数学的表现形式比较枯燥，给人一种冰冷的感觉．但是数学的思考却是火热的、生动活泼的．”[6]因此能够让数学生活化而后点燃读者头脑中火热的思考去温暖这冰冷的美丽便尤为重要，这在现代数学教育中也十分提倡，陈怀书在九十多年前就做到了，他将中小学数学课内外知识“火热”的一面展现出来，带动读者产生对数学火热的思考，让大众尽知数学美．书中的数学游戏场景来源于生活的各个角落，有监狱、商店、学校、工厂、河边、农场、牧场、赛场、音乐会等，各种生活场景中都可以产生数学游戏，运用数学知识；数学游戏中的主题人物也十分丰富，有小偷、国王、学生、富豪、猎人、仆人、总统、农民、情侣等．最能激起读者“一见钟情”的表达方式便是那些栩栩如生的图片，活灵活现的插图将整本书中的氛围渲染得更加活跃．图6~9是从该著作中摘取的4幅插图，分别以“牛乳饼”“杠杆”“羊圈”和“挤奶”为题材来创设数学游戏的情境，图片的画面感很强且有浓厚的生活气息．在民国时期众多的数学科普读物中，《数学游戏大观》是插图最多的读物，开启了近代中国数学科普读物图文并茂、通俗易懂的先河，将生活中上至王公贵族下至黎民百姓都可能碰到的数学故事摘录出来，提出数学问题，于无声无息间悄然引导读者学习数学知识、原理和方法．

图6 牛乳饼

图7 杠杆

图8 羊圈

图9 挤奶

图10 抽象几何图形

2.2.3 “小故事”蕴含“大道理”

所以看似只讲“小故事”不讲“大道理”，但实质上每一则小故事的背后都暗含了深刻的思维道理，使读者的思维在游戏中不知不觉地得到了锻炼，《数学游戏大观》中小游戏背后的“大道理”可以用英国数学家伊凡·莫斯科维奇的一段话概括：“游戏和谜题能够改变人们的思考方式，提升人们的生活质量．游戏能让我们变得更具发明力，更富于创造性与艺术性．它们能让我们以一种全新的方式去看待这个世界，能够激发我们去探索未知的世界，提醒我们时刻把握生活中的乐趣．”[7]

3 《数学游戏大观》的历史地位及对当今的教育价值与启示

3.1 中国近代史上第一部数学游戏专著

截止到民国初年，英国数学家劳斯·贝尔所著的数学科普名著已经出版20年，而中国还没有一本像样的数学科普著作，直到1926年《数学游戏大观》问世后中国的数学科普著作的发展步伐逐渐加快，《数学游戏大观》是中国近代史上第一部数学游戏专著，是民国时期最畅销的数学游戏书之一，也是中国近代史上搜集数学游戏最多的数学科普著作．自1912年崔朝庆在《数学杂志》上连载18篇数学科普文章后，陈怀书是最早系统撰写数学科普著作的数学家，对中国数学科普事业做了许多开创性的工作．使混杂的几何、代数、算术趣味游戏有所归类，条理清晰，一目了然，如同将“乱麻”织成了精美的“织物”．

3.2 中国近代史上最早引入世界名题的数学科普著作

《数学游戏大观》是民国时期架设在国内外数学科普读物之间的桥梁，使得许多后辈数学科普作家受到了书中内容的启发．就拿对“梵塔”游戏的研究来说，谈祥柏先生称自己初次见到“梵塔”游戏便是在《数学游戏大观》中，陈怀书最早将“阿基米德牛的故事”“渡河难题”“猫捕鼠游戏”“数学宝塔”等数学游戏引入中国．

图11 “直角等于钝角”问题

在19世纪30年代和40年代，刘薰宇（1896—1967）、余介石（1901—1968）、薛鸿达（1917—1968）也都在各自的著作和文章中引用该游戏，刘薰宇就此问题论述到：“几何的推证应当是纯客观的，当我们证明一个题目的时候，每一句话都应当有真实可靠的根据，切不可把‘想当然’的事实作为根据，不然总会谬误百出．”[8]薛鸿达也称：“几何学的谬论更是动人，因为使你受愚的不单是你的心智，还得加上你的目光．”[9]现代数学家吴国盛在《科学的历程》[10]中也引用过该谬误，以此强调用科学的眼光、理性的思维去思考问题．

3.3 中国近代史上外来数学文化吸收之媒介

在迷信盛行的年代，科学的普及难免受阻，几百年的闭关锁国难免对突如其来的外来文化有所抵触，一味地崇洋媚外或者全心地固步自封都不是解决文化冲突的合理方式．为解决本土数学文化与外来数学文化之间的冲突，陈怀书先生煞费苦心，将中西方的数学游戏混合后再按内容分类，将外来的数学游戏用朴素、通俗的语言表达，从中国百姓最熟知的农牧业和生活问题入手渐渐习惯西方的数学游戏，逐渐靠近西方的思考方式．例如，书中采用割补法对中国的“太极图”和“勾股定理”进行讲解，引导读者对割补法充分理解，在此基础上引入国外的各种“智慧板”图形供读者欣赏，最后又回归到用割补法来解决生活中的“筑墙”和“剪纸”中的问题，悄然间将西方数学文化传递于读者，避开读者可能产生的认知冲突．

在《数学游戏大观》中许多中西方的经典数学游戏最早相聚，“九连环”与“梵塔”、“中国的商贾”与“英国的货币”、中外的“七巧板”都巧妙自然地融合．针对封建社会的读者，陈怀书貌似不讲科学、不谈原理也不聊文化，只讲故事，熟不知却是将科学、原理和文化渗透到了每一则光怪陆离的数学故事中．

3.4 后继数学科普读物撰写之重要参考文献

《数学游戏大观》就如同细雨在润泽后人的兴趣和思维，为后人的研究提供了素材和线索，谈祥柏感叹《数学游戏大观》是“煞费苦心地从数学的各个分支与流派中大力进行挖掘和搜罗”[11]．从谈先生的话语中流露出他对前辈的感激和崇敬之情，陈怀书的大力搜罗也为后辈数学科普作者的专题性研究开辟了道路、开阔了视野．尽管陈怀书没有深入讲解著作中数学游戏的原理，也没有进行中西方的类比和对比挖掘，但是他已经轻轻叩开了这扇门，他的著作为后人打开了思路，并为后辈数学家对数学文化的研究提供了素材．在当今的“九连环”“梵塔”“幻方”“七巧板”“数字宝塔游戏”等经典游戏的专题研究中，《数学游戏大观》无疑是必不可少的参考文献之一．

沈康身在《历史数学名题赏析》中对《数学游戏大观》中的数学名题多处引用，他的“东方约瑟夫问题”[12]一文将《数学游戏大观》中的“猫捕鼠游戏”、日本的“继子立问题”、中国的“八仙定座”做类比研究；他在“幻方”的研究中也提到：“陈怀书所发表的三阶素数幻方是弥足珍贵的成果．”[13]他的“七巧板”专题研究中也大量摘录《数学游戏大观》中的图片[13]．

《数学游戏大观》是谈祥柏所著多册数学科普名著的主要参考文献，他在字里行间时常流露出对陈怀书的敬仰之情，在译著《稳操胜券》中他称自己最早见到“梵塔”游戏便是在《数学游戏大观》[14]；在《数学多棱镜》中他感叹在壮观的“数学宝塔”游戏背后陈怀书的大力搜罗工作[11]；在《奇妙的幻方》的“同心幻方”和“T形幻方”专题中他展示出陈怀书、许莼舫等数学界的老前辈的研究成果[15]；在他的译著《数论妙趣——数学女王的盛情款待》的脚注中也提示读者“阿基米德牛”的问题最先由陈怀书引入中国[16]；在《数学营养菜》中也告知读者“渡河难题”最早是由陈怀书引入中国[17]．

4 《数学游戏大观》对当今的教育价值与启示

4.1 数学教学中恰当引用数学游戏激发学生学习兴趣

教师在教学过程中启发、引导学生的同时，学生的学习状况也会反刺激教师产生提升教学能力的欲望，这种优质的教学相长的思考催生了陈怀书的《数学游戏大观》．在长时间的循规蹈矩地按时登台授课，面对一些惧怕数学的学生，陈怀书先生对自己的数学教学生涯开始了深刻的反思，他说：“数学非难也，数学亦非难也，而数学实难，按时登台，循例授课，此教者之责任，亦教者之可能，顾所望于教者如是而已乎，是则可深长思也．”[4]在长久并深刻地思考与反省中，他在无意间受到了一本由美国著名数学史家史密斯所著的《算术教授法》的启发，在数学课堂中穿插数学游戏．这在他的课堂上颇有成效，甚至是资质很差放弃数学的学生在课堂上也变得活跃起来，并且有所思考，他说：“诱导既久，诸生亦津津有味、乐此不疲，虽资质迟钝、意志薄弱之人皆能抽理以练心、演法以应用，彼颖悟而力学者，更无论焉，余既感其功伟之效．”[4]1958年许莼舫将《数学游戏大观》的部分内容增删后改编为《趣味的数和图》，有着几十年丰富教学经验的许莼舫讲述他在课堂教学中穿插数学游戏故事时产生的神奇功效说：“编者任教中学数学，深知这一种游戏数学问题的功效，平日在讲课时随时穿插，同学们都觉得津津有味，热烈欢迎．有些素来讨厌数学的同学，从此也渐渐对它发生好感，帮助他们打开了数学的大门．”[18]

前人用实践经验告知大家数学游戏故事在数学课堂中有很好的应用价值，虽然陈怀书与许莼舫等前辈并没有讲述他们自身的实践过程，但是这也能为后人打开思路和研究领域．广大中小学教师也应该试图搜集和学习数学游戏故事，并努力探索如何合理采用数学游戏素材来辅助课堂教学，激发学生的学习兴趣．

4.2 在数学游戏中培养科学探究的思维

《孙子算经》有云：“心开者幼冲而即语，意闭者皓首而难精．”数学游戏是锻炼人思维的工具，让人变得更聪明，游戏中人的思维往往需要更加发散、创新、灵活．书中的“渡河问题”“赛马问题”“酋长分马”“代数谬谈”“几何谬论”等的游戏问题中，均是需要读者反复地进行正向、逆向的思考，激发读者的好奇心、追问并解答问题．这种对游戏的探索心理与科学研究探索的思维类似，所以适当进行数学游戏的锻炼，不但可以使读者不再觉得数学枯燥乏味难懂，而且还可以培养读者科学探索的思维．正如日本数学家秋山仁所说：“益智游戏虽说有别于正统教科书里的内容，但其中也常常蕴含着极具学术价值的思想，以我本人为例，就曾在解答益智游戏的过程中，先后推演出几个最前沿的数学定理．”[19]

陈怀书先生著书的初衷也是期望数学能力差的学生能够对数学产生兴趣，数学能力强的学生能够做到“抽理以练心”，他多年的实践也对此做出了证实．总地来说，这部百年老书对现代较为热门的学习兴趣的提升、启发性的重视、发散性思维的培养等研究有较大的应用价值，五百多则数学游戏可以成为数学教育中“巧妇为炊之米”．

5 结语

《数学游戏大观》是中国近代史上数学科普读物的领头羊，多次重印、再版和畅销是它对中国近现代数学教育影响力最直观的体现，它是国内外数学文化交流的纽带和桥梁，也为后辈数学科普作家提供创作线索和思路，著作中广博的素材、独特的视角、创作的思路、写作的手法、内容的特点都可为当今数学科普读物的撰写提供参考．陈怀书先生是中国近代数学科普巨匠，他带头啄破了民国时期数学科普的“蛋壳”，迎来了数学科普生命的茁壮成长．同时他也是关注中国学生学情的研究型教师，为中国培养了许多杰出的人才，他提出教师不但要讲课还要反思、因材施教等教育观，对当今的数学教育不无启示．“忘记过去等于背叛”，谨以此文缅怀陈先生，并借以传承陈先生数学科普读物的撰写理念和忧国忧民的教育情怀．

[1] 张奠宙．中国近代数学的发展[M]．石家庄：河北科学技术出版社，1999：446．

[2] 王宗光．老交大名师[M]．上海：上海交通大学出版社，2008：261．

[3] 谈祥柏．数学广角镜[M]．南京：江苏教育出版社，1999：5．

[4] 陈怀书．数学游戏大观[M]．上海：商务印书馆，1926：1–2，106，279，295．

[5] 波特兰·罗素．我的哲学的发展[M]．上海：商务印书馆，2015：1．

[6] 张奠宙．数学教育经纬[M]．南京：江苏教育出版社，2003：153．

[7] 伊凡·莫斯科维奇．迷人的数学[M]．佘卓恒，译．长沙：湖南科学技术出版社，2017：1．

[8] 章锡琛．数学与天才[M]．上海：开明书店，1935：37．

[9] 薛鸿达．数学谜语：眼见不足为凭[J]．科学画报，1948，14（8）：434．

[10] 吴国盛．科学的历程[M]．长沙：湖南科学出版社，2018：112．

[11] 谈祥柏．少儿科普名人名著书系：数学多棱镜[M]．武汉：湖北少年儿童出版社，2009：178．

[12] 沈康身．东方约瑟夫问题研究选析[J]．自然科学史研究，2003，22（1）：67．

[13] 沈康身．历史数学名题赏析[M]．上海：上海教育出版社，2002：1 171，1 186．

[14] 埃尔温·伯莱坎普．稳操胜券[M]．谈祥柏，译．上海：上海教育出版社，2009：359．

[15] 谈祥柏．奇妙的幻方[M]．济南：明天出版社，1995：40．

[16] 阿尔伯特·H·贝勒．数论妙趣——数学女王的盛情款待[M]．谈祥柏，译．上海：上海教育出版社，2015：285．

[17] 谈祥柏．数学营养菜[M]．北京：中国少年儿童出版社，2012：99．

[18] 许莼舫．趣味的数和图[M]．上海：商务印书馆，1958：1．

[19] 秋山仁，秋山久义．让孩子爱上科学的游戏趣味大百科[M]．千太阳，译．杭州：浙江少年儿童出版社，2018：2．

: Pioneering Work in the Field of Mathematical Popular Science during the Period of the Republic of China

LI Chun-lan, YU Jin-xia

(College of Mathematics Science, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Hohhot 010022, China)

Popular science books on mathematics have a strong tradition as the main way of popularizing mathematical knowledge and spreading mathematical culture. During the period of the Republic of China, mathematical popular science books were beginning to develop rapidly in China. The book,written by the great master of mathematical popular science Chen Huai-shu, is a foundational monograph on mathematical games in Chinese modern history during the period of the Republic of China. This book introduced world-famous mathematical problems with a variety of pictures and provided study clues or thoughts for later researchers. It also promoted the popularization of Chinese mathematics and the wide spread of mathematics culture. Based on a brief overview of this work, this paper expounds the characteristics and historical status of this work to commemorate Mr. Chen Huai-shu. It is expected that more and more mathematics majors and non-mathematics majors will get to recreate mathematics according to the historical development of mathematics.

CHEN Huai-shu;; mathematical popular science; the period of the Republic of China; mathematical culture

G40–09

A

1004–9894（2020）03–0063–05

2020–02–03

内蒙古自治区高等学校科学研究项目（教育厅人文社科重点项目）——民国时期数学课外读物的教育价值研究（NJSZ17028）；内蒙古师范大学通识教育课程项目——数学文化（TS17142）

李春兰（1978—），女，蒙古族，黑龙江肇源人，博士，副教授，硕士生导师，主要从事数学史与数学教育研究．

李春兰，于金霞．《数学游戏大观》：民国时期数学科普界的拓荒之作[J]．数学教育学报，2020，29（3）：63-67．

[责任编校：周学智、陈隽]