从旋转视角看待全等三角形——对于一道基础图形的变形

江苏省木渎高级中学 于方舟

全等三角形是初中几何的重点内容，旋转变换是初中数学三大变换之一，一道证明三角形全等的题目，如果从旋转变换的视角去寻找三角形全等的条件，往往会使得寻找的目标更为明确，对图形的认识也更为清晰。

一、旋转模型

如图1，在等边三角形ABC 和等边三角形ADE 中，AB 和AD 在同一条直线上，连接BE、CD，分别与AC 和AE 相交于点G、H，BE 和CD 的交点记作点F。求证：△ABE ≌△ACD。

分析：本题是旋转的基本模型，由题意：△ABC 和△ADE 都是等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，同时加上公共角∠GAH，即可得∠BAE= ∠CAD，即能证得△ABE ≌△ACD（SAS）。在这一问题中，△ABE 绕点A 顺时针旋转60°与△ACD 重合，因此寻找对应线段和对应角就显得更为明显。 我们可以从这一问题中，归纳出一个基本的旋转模型，如图2，两个三角形绕着一个顶点旋转即可重合，利用旋转变换的视角，即能化繁为简，在复杂的几何图形中，分辨出基本模型。

二、旋转模型的适当变形

如图3，以△ABC 的两边AB、AC 为边，分别向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接BE、CD，相交于点F，请回答以下问题：（1）判断BE 与CD 之间的大小关系；（2）判断∠BFD 与∠BAD 之间的大小关系。

分析：在这个图形中，可以将△ABE 绕着点A 顺时针旋转得到△ADC，因此解决这个问题，首先证明△ABE ≌△ADC（SAS），即可得到BE=CD。在判断∠BAD 与∠BFD 的大小关系时，可以利用图形中存在的“8 字模型”。在△ADG 和△FGB 中，∠AGD=∠FGB（对顶角），∠ADG=∠FBG（由三角形全等得到对应角相等），因此，∠BFG=∠DAG=60°。“8 字模型”也是由旋转模型得到的一个结论，通过三角形全等，得到一组对应角相等，再根据对顶角相等，即可得到两个三角形中的另外一组角相等，由“8字模型”，可以很快找到度数相等的角。

接下来，对于图3 再作适当变形，通过旋转模型，解决问题。

如图4，以△ABC 的AB、AC 为腰，向三角形外作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，顶角∠BAD=∠CAE=α，连接BE、CD，相交于点F，连接AF，请证明以下结论：（1）∠BFD=α；（2）∠DFA=∠EFA。

分析：（1）由旋转模型，很容易得出△ABE ≌△ADC，从而得到对应角相等，即∠ABE=∠ADC，再由“8 字模型”，可以得到∠BFD=∠BAD=α。

（2）要 证∠DFA= ∠EFA，可 证∠DFA 与∠EFA 所 在 的三角形全等。△ABE 与△ADC 通过旋转可以重合，那么这两个三角形的对应元素也是始终相等的，因此可以联想到，旋转三角形中的重要对应线段——高线，从而构造全等三角形。过点A 作AG ⊥CD 于 点G，AH ⊥BE 于 点H，如 图4。可 以 得 到AG=AH（AG、AH 可以看成是△ABE 与△ADC 对应边的高，因此它们是相等的；也可通过证明△ABH ≌△ADG（AAS），得到AG=AH。 在Rt △AGF 和Rt △AHF 中，AG=AH，AF=AF，所 以Rt △AGF ≌Rt △AHF(HL)。 所 以∠AFG= ∠AFH， 即∠DFA=∠EFA。

思维拓展：如图5，以△ABC 的AB、AC 为边向三角形外作正方形ABDE、ACFG，连接BG、CE，相交于点H。证明：（1）BG ⊥CE；（2）∠EHA=∠GHA。

三、模型方法迁移，解决难题

有了上述问题做铺垫，解决下面的问题就会显得得心应手。

如图6，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE 与BD 相交于点H，AE 与CD 相交于点G，AC 与BD 相交于点F，连接HC，FG，有下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG ∥BE；④∠BHC=EGC。其中正确的结论是_。

分析：在此图形中，可将△BCD 绕点A 顺时针旋转60°，即可与△ACE 重合，因此，这是一个典型的旋转模型。结论①易证；同样，可将△BCF 绕点C 顺时针旋转60°，即可与△ACG 重合，故有AG=BF，结论②正确；由△BCF ≌△ACG，有CG=CF，又∠FCG=60°，所以△CFG 是等边三角形，所以∠CFG=∠ACB=60°，所以FG ∥BE，结论③正确；要证明∠BHC=∠EGC，由上述探究得到启发，过点C 作CM ⊥BD 于点M，CN ⊥AE 于点N，如图6。CM、CN 是旋转模型中两个全等三角形对应边上的高，故CM=CN，易证Rt △CMH ≌Rt △CNH(HL)，所以∠CHM=∠CHN，即∠BHC=∠EHC，结论④正确。所以，正确的结论有①②③④。

通过对上述旋转模型的分析和变形，相信我们对此类问题不会再感到迷惑了吧，我们接下来就挑战一下自己吧！

如图7，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE、BG 和EG，EG 与HA 的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG ⊥CE；③∠EAM=∠ABC；④AM 是△AEG 的中线。其中正确的结论是____。

思路点拨：由上述探究，可知①②正确。 过点E、G 分别作直线HM的垂线，垂足分别记作P、Q，如图7。易证Rt △ABH ≌Rt △EAP，所以∠EAM=∠ABC，AH=EP；同样方法证明Rt △ACH ≌Rt △EAQ，所以AH=EQ，因此EP=EQ，接下来可证Rt △EPM ≌Rt △GQM，得到EM=GM，即AM 是△AEG 的中线。因此，③④正确。

总结：旋转模型可以帮助我们在复杂图形中抽象出基本图形，迅速找到图形中存在的全等三角形，利用旋转图形的对应线段也是相等的，可以在添加辅助线时给予启发，构造全等图形。 旋转思想，可以帮助我们化繁为简，切中图形要点，使困难问题迎刃而解。