Buck电路的分数阶建模与PIλDμ控制

方数丞 王晓刚

摘 要：基于分数阶微积分理论与实际中电感与电容的外特性呈分数阶的事实，运用状态空间平均法建立了在电感电流连续情况下的分数阶Buck电路的数学模型和电路模型，提出了分數阶Buck电路纹波分析与连续条件，推导出占空比至输出电压的传递函数和输入电压至输出电压的传递函数。此模型较整数阶模型更能精确反映实际电路工作状态。基于Matlab/Simulink软件对模型进行了仿真，验证了该模型的正确性。基于ITAE最优控制方法设计了分数阶PID控制器对该模型进行控制，并对补偿后的传递函数进行了仿真，验证了该控制器的有效性。

关键词：分数阶微积分;Buck变换器;建模;分数阶PID控制

0 引言

自从1695年Leibniz在给L′Hospital的书信中第一次提出关于将微分阶次从整数阶推广到非整数阶的含义的问题，再到由Leibniz所提出的问题开创了一门持续发展了300多年的关于分数阶微积分的学说。直至1960年开始，分数阶微积分学逐步推广到科学与工程领域，大量学者做出了杰出贡献。其中，意大利学者Caputo与Mainardi教授提出了基于分数阶导数建立的耗散问题[1];斯洛伐克学者Podlubny教授提出了分数阶比例-积分-微分控制器的模型[2];法国学者Oustaloup教授的研究组提出了分数阶鲁棒控制理论，并将其成功应用于汽车工业的悬挂控制。

近年来，分数阶微积分的应用越来越受到各工程学科的关注，电气工程领域也不例外[3-4]，一方面，在传统电路中引入分数阶元件可以使电路设计变得更加自由和灵活[5-7];另一方面，某些电气元件的分数阶模型可能取代目前使用的常规模型。张波教授在文献[8]中提出了一种buck-boost电路的分数阶建模方法。文献[9]、文献[10]分别建立了电感电流连续模式和电感电流伪连续模式下boost变换器的分数阶模型。文献[11]中对Buck电路进行了分数阶建模但没有对电路进行控制。

在薛定宇教授编写的书籍[12]中，系统地整合出了分数阶微积分的基本概念，同时建立了一个完整的分数阶系统工具箱，对于将分数阶理论运用到科学与工程中做出了杰出的贡献。

本文将分数阶运用于Buck电路中，利用状态空间平均法建立数学模型，同时建立电路模型，推导出占空比至输出电压的传递函数和输入电压至输出电压的传递函数，得出电感电流纹波计算公式和电路运行在电感电流连续模式的条件，并运用Matlab/Simulink对其进行仿真分析，在建立的数学模型下利用分数阶PID控制，对其进行闭环控制，从回路成型设计方法的角度看，在整数阶系统中Bode幅频特性的渐进线斜率是20 dB/dec的整数倍，而分数阶系统则没有这样的要求，所以可以任意制定预期的伯德图形状，以期得到更好的设计效果。最后对其传递函数进行仿真与分析，改善系统的稳态性能。

1 Buck电路的分数阶建模

根据文献[13]可知，分数阶电感和分数阶电容两端电压和电流微积分关系如下：

式中，VL为电感两端的电压;iL为流经电感两端的电流;ic为流经电容两端的电流;vo为输出端电压，同时也是电容两端电压;α、β分别为电感阶次与电容阶次，且满足0<α，β<1。Buck变换器的电路原理图如图1所示，其两种工作状态等效电路如图2所示。

（1）当开关S闭合时，由图2（a）得出状态方程为：

（2）当开关S断开时，由图2（b）得出状态方程为：

由式（1）、式（2）、式（3）、式（4）取值平均化，可得以下矩阵方程：

下面根据状态空间平均法，引入小信号，此时Buck电路中的输入电压、电感电流以及输出电压等参数均可由直流分量和扰动量的和表示：

注意，各变量的交流分量的幅值远小于其相应的直流分量。

将式（6）代入式（5）分离直流分量，可得：

由Caputo分数阶导数[14]定义可知，常数的分数阶微分值为0，可得：

消去式（5）的直流分量，并忽略高次的交流分量，可得交流小信号模型：

从而根据状态方程可以得到Buck直流变换器输入到输出的传递函数为：

根据Caputo分数阶定义和模态1中式（1）对其两边同时求积分，积分时间为0～DT，此时得出电感电流iL在（0，DT）内的增量，即电感的纹波电流：

式中，Г（α）为伽马函数[14]。

由式（11）可知电感的纹波电流不仅与输入电压、电感L、开关周期T有关，还与电感的阶次α有关。

由式（11）可求出电感电流的最大值和最小值如下：

根据式（13）可以得出Buck电路电感电流连续的条件为：

2 数值仿真

为验证上述建模与理论分析的正确性，基于Matlab/Simulink软件和薛定宇等人提出的Oustaloup滤波器[15]分数阶微积分改进算法，建立了电感电流连续模式下分数阶Buck电路的数学仿真模型和电路仿真模型，分别如图3、图4所示。

在图3中，运用薛定宇等人提出的改进Oustaloop滤波器，即图中的Fractional Int s^{-α}模块有3个关键参数：拟合频率下限ωb、拟合频率上限ωh、滤波器阶数n。电路中元器件的参数设置如下：电容C=100 μF，β=0.6，电感L=1 mH，α=0.7，占空比D=0.4，开关频率为25 kHz。考虑到还有高于开关频率的高频谐波存在，因而设置ωb=1×10-6 rad/s，ωh=1×106 rad/s，阶数n=8。再根据电感电流连续的条件可得R<2.76 Ω，这里选取R=0.5 Ω。根据理论计算可得出此时Vo=2 V，IL=4 A，电感电流纹波ΔiL=1.45 A。所得输出电压波形和电感电流波形分别如图5、图6所示。

由图6可知，ΔiL=1.697 1 A，Δvo=0.813 8 V与理论值基本一致，证明模型的正确性。但与整数阶Buck电路波形图不同的是该图像不是三角波，故在计算纹波电压Δvo时不能根据整数阶直接扩展过来。

图4中关键的元件在于分数阶电感与电容近似。分抗逼近电路[16]有Roy分型分抗电路[17]、Oldham RC链分抗逼近电路[18]等，根据文献[19]，基于分抗链[20]和改进的Oustaloop滤波器的分数阶微积分算法[12]，可以得出分数阶电感和电容的等效模型，如图7、图8所示。

当L=1 mH，α=0.7时，图7中的电感和电阻值分别为：RL1=14.880 9 Ω，RL2=0.883 5 Ω，RL3=0.077 9 Ω，RL4=0.006 9 Ω，RL5=0.618 67 mΩ;RL6=55.171 μΩ，RL7=4.913 μΩ，RL8=0.425 μΩ，L1=24.984 μH，L2=46.894 μH，L3=0.132 4 mH，L4=0.366 4 mH，L5=0.001 H，L6=0.002 9 H，L7=0.008 2 H，L8=0.022 6 H。

当C=100 μF，β=0.6时，图8中的电感电容值为：RC1=54.871 kΩ，RC2=435.86 kΩ，RC3=3 488.3 kΩ，RC4=35 822 Ω，RC5=13.389 1 Ω，RC6=109.364 3 Ω，RC7=870.237 7 Ω，RC8=6.907 2 kΩ，C1=0.288 7 mF，C2=0.001 2 F，C3=0.004 5 F，C4=0.014 μF，C5=1.183 6 μF，C6=4.584 3 μF，C7=18.156 μF，C8=72.576 μF，R=2.512 Ω。

这样通过仿真后得出波形与数学模型仿真如图9、图10所示。

其中浅色线为电路模型仿真波形，由图9、图10可知：Vo=2.050 4 V，IL=4.106 9 A，ΔiL=1.679 2 A，Δvo=0.803 6 V。对比数学模型仿真和理论分析，由于在构建分数阶电容与电感时用高阶传递函数近似代入误差，所以所得结果与数学模型仿真与理论大致一致，从而证明了工作与电感电流连续模式下Buck变换器理论分析的正确性。

将分数阶模型中的电感和电流换回整数阶，其他参数不变可以得到图11、图12所示的整数阶电感电流和输出电压。

由图11、图12可知，ΔiL=0.046 1 A，Δvo=0.002 8 V，整数阶时纹波很小尤其是电容纹波接近于一条直线，由此可见该模型同样也适用于整数阶。

3 Buck电路的PIλDμ控制器设计

根据式（10）可得Gvd==，此时令H（s）=1，Gm（s）=1。可得原始回路增益函数Go（s）=Gvd（S）H（S）Gm（S），代入参数后得G0=，运用文献[8]中所给函数做出其伯德图，如图13所示。

由图13可以得出，原始回路函数Go的相角裕度为125.9°，可见系统开环稳定，再做其闭环函数单位阶跃响应曲线，如图14所示。

由图14可知系统稳定，但具有一定的稳态误差无法完全跟踪输入信号，这就有必要给系统一个补偿网络。工程系统的优化方法有多种，除线性二次型优化及动态规划法以外，ITAE优化方法也是一种常用的方法。

在优化控制系统设计中，一种合适的性能指标是时间与绝对误差的乘积积分，称为ITAE性能指标，表示如下：

ITAE=t|e（t）|dt（15）

选择ITAE指标，是为了减小较大的初始误差对性能指标取值的影响，同时也是为了强调最近的响应影响。

在高阶系统中，ITAE最优性能指标的几何意义是误差的广义面积极小，它也是多维相空间曲面上的一个极值，它的维数就是该方程所描述系统的状态数。显然，用解析法很难得到该极值，因此一般采用实验的方法来确定最优系数。这种方法同样适用于PIλDμ控制器设计。根据文献[8]，我们选择ITAE性能指标，假设仿真终止时间为8 s，并假设PIλDμ控制器参数均小于40，且阶次区间为（0，2），调用fminsearchbnd函数可以设计出如下PIλDμ控制器：

Gc=

加入补偿网络Gc后，回路增益函数G=GoGc，对该增益函数做其闭环函数单位阶跃响应曲线，如图15所示。

由图15可知，经过补偿后，稳态误差得到改善，符合ITAE性能指标特性。

4 结语

本文基于分数阶微积分理论，运用状态空间平均法，建立了Buck变换器的分数阶数学仿真模型和电路仿真模型，给出了电感电流纹波的求解方法和Buck变换器在电感电流连续情况下的工作条件，并给出相应传递函数。根据ITAE性能指标，设计了基于数值寻优的最优PIλDμ控制器。经过理论分析发现：

（1）Buck变换器运行于电感电流连续模式下的参数不仅与电感L、负载R、开关周期T、占空比D有关，还与电感L的階数α有关。输出电压的直流分量Vo、电感电流直流分量IL与电感和电容的分数阶阶数无关。

（2）根据数值寻优的最优设计方法对电路进行PIλDμ控制器设计，并用传递函数仿真验证了控制器的有效性。

综上所述，根据电感和电容本质上是分数阶的事实，验证了本文所建立的Buck变换器的分数阶模型和PIλDμ控制器的正确性和有效性。

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收稿日期：2020-01-06

作者簡介：方数丞（1993—），男，江西人，硕士，研究方向：分数阶DC-DC变换器的建模与PIλDμ控制器设计。