在分类中寻找优化方案

郑志远

1 试题呈现

（2019年温州卷第23题）某旅行团 32 人在景區游玩，他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童 10人，成人比少年多 12人。

（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？

（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领 10 名儿童去另一景区游玩，景区的门票价格为 100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童。

①若由成人8 人和少年5 人带队，则所需门票的总费用是多少元？

②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少。

2 试题“特色”解读

2.1 题面简约熟悉，回归教材

题目取材紧贴学生熟悉的门票问题的知识情境，容易从题目中提取信息整合构建方程模型，本题涉及的知识点颇丰，融合了初中阶段代数与几何的核心知识。问题的设置既立足于初中数学知识的基础：一元一次方程、儿育一次方程组、一元一次不等式等，题目包涵了方程、分类讨论、数形结合等多种数学思想，体现知识与能力并用、思想与方法交融的命题特点，也非常符合“起点低、坡度缓、尾巴翘、宽进严出”的命题要求。

2.2 重视核心素养，凸显能力

数学建模、数据分析是学生发展的核心素养，命题者紧紧围绕核心突出对学生数学思想方法、数据分析能力、计算能力、知识应用能力等数学素养的考察。题目中包涵了丰富的数学解法和数学思维，有方程、不等式、定量求解和不定量的讨论等。

2.3 解题方法多样，发散思维

本题的第一小问既可以用一元一次方程解决也可以用二元一次方程组来解决，第二小问的第2个问题选择的余地更大，可以用小学的枚举法，也可以用初中的不等式，甚至可以用高中阶段的线性规划来解释。解法多样，跨度大，入口宽，学生可以从不同角度入手解决问题。既体现初小衔接的必要性，又强调初高衔接的重要性。

3 试题多解

解法1：设成人x人，少年y人.

①当1≤x≤10时，则100x+80y+（10-x）×60≤1200，解得x+2y≤15，变形得x≤15-2y.

当y=1时，x≤13，故x=10，费用为1080元;

当y=2时，x≤11，故x=10，费用为1160元;

当y=3时，x≤9，故x=9，费用为1200元;

当y=4时，x≤7，故x=7，x+y<12，不合题意;

当y=5时，x≤5，故x=5，x+y<12，不合题意。

②当10

当y=1时，x=11，费用为1180元

当y≥2时，x≤10.4，不合题意。

综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人时购票费用最少.成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人时购票费用最少。

解法1分析：通过题意得到二元一次不等式，通过变形得到未知数的不等关系，因为一个未知数有取值范围，而且在枚举的范围之内，故可以通过尝试明确取值范围的一个值，来求出另一个未知数的取值范围，再根据题目已知条件从而确定最优解，以此类推，得到满足题设的所有情况，再最终求得最优解。枚举法是在可以枚举的前提下使用，在小学数学例是非常重要的思想方法，这道题目，充分考虑到初小衔接。

解法2：①当成人为10人时，儿童免费，100×10+80×2=1160≤1200。

②当成人少于10人时，省出一个成人100元，多付儿童60元，由于要求安排人数最多，需安排少年1人抵去1个成人，在人数不变的情况下多花了40元，达1200元，故只有成人9人，少年3人符合条件.

③当成人多余10人时，儿童免费，每多出一个成人且少掉一个少年时，多出费

用20元;故x=11，少年为1人，此时费用1180;x=12，少年为0时，不合题意。

其余皆不可能.

综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人时购票费用最少.成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人时购票费用最少。

解法2分析：尝试着以成人10人作为分界点数，并通过分析计算成人10人以下和10人以上的情况来解决问题。

解法3：设可以安排成人x人、少年y人带队，则1≤x广博精神，经过岁月沉淀积累了诸多文化典籍，抑或是浓缩精华，抑或是博采众长，抑或是晦涩难懂，抑或是浅显易见。借助经典文化读本来提高小学语文课堂质量，无疑是一种有效的教学手段。小学语文教师根据不同年龄段学生的特点，来选择适合的文化经典读本，让古人智慧领航今日文化传扬。适合的经典文化读本，既能培养小学生阅读兴趣，又能领略古人的思想智慧。分级阅读在此时得以有效体现，例如：小学一到三年级学习的传统文化经典读本，可以为《三字经》、《千字文》、《弟子规》等基础性的、朗朗上口的文化经典，而四到六年级的小学生则可以学习《增广贤文》、《孝经》、《老子》等诸多经典文化思想，从中领略我国传统文化智慧，进而深度挖掘学生内在潜能，对语文教学产生敬畏之情，对于语文学习的理解，不再停留于表面，发现其内在价值。

综上所述，农村小学语文课程的教学与传统文化的融合需要充分发挥农村地区独特的优势，同时也要通过有效的理念转变和方式转变来提升小学生对传统文化的基础认知，达到对小学生素质培养的目的，从而激发小学生强大的爱国情怀和民族精神。

课题项目：本文系甘肃省平凉市教育科学“十三五”规划2019年度课题《在小学语文课堂教学中渗透中华优秀传统文化的探究》成果，课题批准号[2019]PLG340。

（作者单位：甘肃省平凉市静宁县德顺小学）

≤17，1≤y≤5.

当1≤x<10时，

当x=9时，100×9+80y+60≤1200，∴y≤3.

∴，此时x+y=12，费用为1200元;

当x=8时，100×8+80y+2×60≤1200，∴y≤3.5.

∴，此时x+y=11<12，不合题意，舍去;

同理，当x<8时，x+y<12，不合题意，舍去。

當10≤x≤17时，

若x=10，则费用为100×10+100×y×0.8≤1200，得y≤2.5，

∴y的最大值是2，此时x+y=12，费用为1160元;

若x=11，则费用为100×11+100×y×0.8≤1200，得b≤1.25，

∴y的最大值是1，此时x+y=12，费用为1180元;

若x≥12，100x≥1200，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去;

综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人时购票费用最少.

解法3分析：本题渗透了分类讨论的思想，分类讨论的原因：成人的人数大于或等于10时儿童不需要额外买票，小于10时个别儿童需单独买票，从而导致费用计算方法发生变化。

分类讨论的对象以及取值范围：以成人a的人数进行分类，分为⑴10≤x≤17，⑵1≤x<10，

分类后，逐项讨论，得到各类解题结果，这里需要注意的是，根据题目限制的金额1200元，需要学生综合利用分析推理能力，排除a≥12，a≤8的情况。整合上述结果，得出符合人数“最多”的方案，计算出金额后找出费用“最少”的方案。

最优方案型问题，以学生所熟悉的生产生活中的实际问题设置问题情境，综合考查阅读理解能力、分析推理能力，多与二元一次方程组、一元一次不等式（组）和一次函数紧密联系，需要学生利用已学过的数学知识通过建立适当的数学模型来判断或探求解决问题的最优方案。由于实际问题的复杂性、多样性，往往需要分类讨论，正确解答分类讨论问题，必须清晰回答下面几个问题：为什么而分？怎样分？分为几类？最终结果怎样？因此，要重视分类讨论的教学，根据各阶段教学目标加强分类讨论思想的渗透，强化分类讨论的意识，培养学生思维的条理性、严密性，提高分析问题和解决问题的能力。

4 教学建议

4.1 渗透“有效阅读”，培养学生的阅读能力

应用题涉及的信息量大，数据多，学生很容易混淆。这就要求教师在平时的教学过程，培养学生认真阅读应用题的习惯，学生渗透“有效阅读”的“三步走策略”，粗读、细读、精读。分析比较题目中的信息，抓住题目中的关键信息，深入理解，挖掘知识点的内涵与外延，有必要作适当的拓展。

4.2 突出数学思想方法

分类讨论和数形结合思想在高中阶段数学学习中占据了非常重要的位置，目前在初中阶段，学生的数学思想意识还是比较欠缺的，这就要求教师在平时的教学活动中有意识地去引导，哪些问题需要进行分类讨论，怎么分？分几类？依据是什么？在代数问题抽象化的背景下，能否转化成几何图形解决问题是否更直观。

（作者单位：浙江省温州市第四中学）