高中数学不等式恒成立问题解题思路探究

摘 要：随着我国教育事业的不断发展，对高中生的数学素质要求进一步的提升，不等式的恒成立问题在高中数学的学习中占据重要的地位，也是实际学习的重难点，不仅是对学生“不等式计算”思维的一种培养，还能将其运用到实际生活当中。教师要充分研究解题思路，使学生掌握的解题方法，让学生能够又准又快的解决实际问题。

关键词：高中数学;不等式恒成立;解题思路;探究

一、 前言

不等式的恒成立问题是高中数学学习的重要内容，也是高考的重要考点，它不仅可以对学生进行单独的知识点考查，还可与函数、方程等部分重点内容进行综合的考查，学生在学习过程中存在难度。因此在解题思路上教师和学生要善于总结，将之前学习过的知识与本节课的学习进行充分的联系，从而找出适合自己的解题方式。不等式的解题具有一定的规律和技巧，只要学生扎实地掌握不等式恒成立的相关知识和概念，并且将与之有关系的数学知识灵活地运用，就能够有效地提升学生的解题速度和准确率。

二、 不等式恒成立问题教学的意义

（一）能够利用不等式恒成立问题求解函数的最值问题

运用不等式的恒成立问题来求解函数的最值问题，是高中生普遍愿意采用的一种方式，在实际的解题过程当中，不仅能够帮助学生理清解题的思路，还可以提高学生的解题技巧和能力，让学生的正确率有所提高。

【例1】 已知函数f（x）=12ax2+（1-a）x-lnx，a∈R，（1）讨论f（x）的单调性（2）若a∈（-∞，-1），设g（x）=xex-x-lnx+a，证明：x1∈（0，2]。存在x2∈（0，+∞），使f（x1）-g（x2）>2-ln2，第一问答案略，第二问解题步骤如下：

由题意得f（x）min-g（x）min>2-ln2

由（1）可知，当a<-1，x∈（0，2]时，f（x）min{f（-1/a），f（2）}

f（-1/a）-f（2）=-ln（-1/a）-1/2a-1+ln2

令h（x）=-lnx+12x-1+ln2，x∈（0，1），h′（x）=x-22x<0，故h（x）在（0，1）上是减函数，有h（x）>h（1）=ln2-1/2=ln4/e>0，所以f（-1/a）>f（2），从而 f（x）min=2-ln2。

g（x）=xex-x-lnx+a，x∈（0，+∞），则g′（x）=（x+1）（ex-1/x）

令G（x）=ex-1/x，显然G（x）在（0，+∞）上是增函数

且G（1/2）=e-2<0，g（1）=e-1>0，

所以存在x0∈（1/2，1）使G（x0）=ex0-1/x0=0，且g（x）在（0，x0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，

g（x）min=g（x0）=x0ex0-x0-lnx0+a=1+a<0

所以g（x）min+2-ln2=1+a+2-ln2<2-ln2

所以f（x）min>g（x）min+2-ln2，命题成立

（二）能够利用不等式恒成立问题解决参数取值的问题

参数范围问题是高考的必考题，这类问题涉及的知识点多，思考转化比较困难，在具体的解题过程中，学生会运用函数的单调性和导数等方法来求参数的取值范围，很多时候，也可运用不等式恒成立的方式能够将问题简单化，提高学生的解题效率。

【例2】 已知函数f（x）=e-x-ax（a∈R）（1）当a=-2时，求函数f（x）的极值;（2）若ln[e（x+1）]≥2-f（-x）对任意的x∈[0，+∞）成立，求实数a的取值范围。第一问答案略，第二问解题过程如下，

（2）因为f（x）=e-x-ax，

所以f（-x）=ex+ax，

又因为ln[e（x+1）]≥2-f（-x）对任意的x∈[0，+∞）成立。

所以ln[e（x+1）]≥2-ex-ax对任意的x∈[0，+∞）成立。

即ex+ax+ln（x+1）-1≥0对任意的x∈[0，+∞）成立。

引入函数g（x）=ex+ax+ln（x+1）-1（x≥0），

所以g′（x）=ex+a+1/（x+1），

令g′（x）=0，则ex+a+1/（x+1）=0

引入函数p（x）=ex+1/（x+1），则p′（x）=ex-1/（x+1）2。

所以当x≥0的时候，p′（x）≥0，

所以函数p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，

所以当x=0时，p（x）min=p（0）=2。

讨论：当-a≤2，即a≥-2时，g′（x）≥0，此时 g（x）在[0，+∞）上单调递增。

所以ex+a×0+ln（0+1）-1≥0。

所以a≥-2。满足题设：

当-a>2，即a<-2时，存在唯一实数x0，使g′（x0）=0。且分析知，当0≤x

又因为：g（0）=0。

当0

综上，所求实数a的取值范围是[-2，+∞）。

三、 高中数学不等式恒成立问题解决和教学中出现的问题

（一）学生对之前所学的知识回忆不起来，影响解题思路

在解决不等式恒成立问题时，要求学生不仅要熟练掌握不等式的相关知识，还要对之前的知识能够及时地提取。在实际解题过程中，很多学生由于之前所学知识不扎实，导致學生浪费了大量的时间去思考解题思路，不知道如何下手，往往都是做到一半就不知道该怎么去做了，导致做题时间大大增加，效率低下。

（二）学生不愿意动脑

不等式恒成立问题，需要学生有很清晰的解题思路，但是大多数学生普遍认为这一类问题比较烦琐，很多时候做成“烂尾楼”，效益不高，浪费时间，导致很多学生不愿意主动去思考，更不愿意主动去解决这类问题，学生的数学思维能力得不到有效的提升。

（三）教师的教学观念比较落后

不等式恒成立问题的教学，要求教师有扎实的基础知识和创新能力，才能够给学生讲解清楚，但是在实际的教学过程中，很多教师的教学观念比较落后，所使用的教学方法无法满足学生的需要，也无法顺应教育改革的要求。受传统观念的影响，教师在教学中通常采用灌输式，教师讲的津津有味，学生听得一头雾水，这样传统的教学模式很难激发学生解决问题的兴趣。另外，学生对这部分知识掌握的程度，教师没有明确，在课堂上面对学生突如其来的问题，容易出现手忙脚乱，极大降低了课堂教学的效率和效果。

（四）教师的教学能力有待提升

不等式恒成立问题，要求教师有比较强的理解能力和逻辑思维能力，能够将与本节课知识有关的知识进行充分的整理，才能够最大限度地让学生理清解题思路。另一个方面，很多高中教师是刚来的毕业生，虽然他们有丰富的理论和专业知识，也能够又快又准地做出类似的题目，但教学经验不足，导致教师在讲解的时抓不住重点，往往自己能够做出来但却讲不出来，数学语言表达不到位，导致学生对知识理解不透把握不准，解题思路也无法整理清晰，影响成绩提升和综合素质的培养。

四、 高中数学不等式恒成立问题的学习策略

（一）利用不等式恒成立的推理过程，培养学生的抽象思维

在课堂上，教师要给学生演示不等式恒成立问题的推理过程，每个步骤都应该详细且准确，教师所塑造的推理氛围，使学生对下一步的计算有一定的想象，充分地体会教师思维方式，能够根据教师的解题思路，自己進行分析和适当的推理，形成自己独特的抽象思维，并在解题过程中得以体现和表达，教师在引导学生独立思考和分析的过程中，学生也能够得到潜移默化的提升，不断地促进学生抽象思维能力的培养。

（二）利用已知条件，逐步进行解题

除了上述的情况之外，还会遇到问题比较复杂或者是不等式的形式很烦琐的情况，学生很容易出现烦躁、焦虑情绪，影响学生的正常解题思路。通常来说，不管是多复杂烦琐的不等式，都是由几个比较简单的不等式和一些数学关系组成，只要学生熟练地掌握不等式的相关知识，保持良好的心态，逐步进行求解就能够发现其中的内在联系，将已知条件进行细分，一步一步地进行求解，就能够更好地对这一烦琐复杂的不等式进行科学的处理，同时，需要注意的是，应用分解复杂不等式的方式来进行解题，能够将复杂的问题分解成几个简单的小问题，能够有效地降低试题的难度，提高解题的速度和正确率。

五、 不等式恒成立的几种解题策略

（一）数形结合法

数形结合法在高中数学的应用比较广泛，可以将不等式两边的式子看成两个函数，作出两个函数的图像，通过图像上两个函数的位置关系，在结合最初的不等式，就能够列出相应的关系式，为解题提供了极大的帮助，并且准确性还比较高。例题3：a>0，a≠1，f（x）=x2-ax，当x∈（-1，1）时，有f（x）<1/2恒成立，求实数a的取值范围，根据这道题我们不难发现，可以求出x2-1/2

（二）分类讨论法

分类讨论是针对已知条件存在多种情况，在给出的不等式中，如果两个变量不能够通过恒等变形的方式进行变形，就可以采用分类讨论的方式，需要注意的是，要充分考虑到可能出现的各种情况，保证讨论的完整性和全面性，不重不漏。

（三）逆向思维求解法

逆向思维在不等式的恒成立问题中运用的也比较多，有些问题通过常规的正向思维虽然也能够得到最终的结果，但是问题的分析过程和实际的求解过程却是非常的烦琐，不仅速度慢，还容易出现错误，降低解题的正确率和效率，有些问题可以使用逆向思维，能够快速找到解题的关键点，提高解题的速度。例如在已知丨x2-4x+p丨+丨x-3丨≤5，xmax=3，求p=？根据平常思维，在解题时，先去绝对值，然后再对不等式进行求解，最后根据条件求出p的值。我们不难发现，解题的步骤非常的麻烦，并且容易出现错误，仔细观察可以看出，题目中已经给出了x的最大值，xmax=3，说明3就是不等式的一个解，将x=3代入，就可以得出p=8。采用逆向思维的方式，让学生从另一个角度思考问题，进一步深化对题目的理解，找出正确的解题方法，从而提高解题的速度和正确率。

六、 总结

综上所述，不等式作为高中数学的重要组成部分之一，在学习中占据非常重要的地位，这就要求教师在平常的教学中，注重学生基础知识的学习，不仅要让学生学会教材的知识点，还要让学生对相关的知识点进行整合，从而培养学生的数学思维，找到解题的思路，注重解题策略的利用，用简单的方式解决问题，提高解题的速度和准确性，促进自我综合能力的提升。

参考文献：

[1]靳国林.浅谈高中数学不等式的解题策略[J].高中数理化，2012（10）.

[2]楚可悦.高中数学不等式应用与学习策略分析[J].中国校外教育，2018（5）.

作者简介：

郑建，湖北省咸宁市，湖北省咸宁高中。