探究转化模型 解法自然生成

摘 要：在数学教学中，例题、习题的教学是学生建构知识的重要平台.数学教育家乔治·波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”因此如何充分发挥每道例题的功能，达到数学教学的目标，是摆在每一位教师面前的一个重要课题.本文从一道典型例题出发，探讨求三角形中线段长度的方法，通过对各种解法的梳理、比较、优化、拓展和延伸，寻找其内在的联系和规律.

关键词：解题教学;教育价值;解法探究

作者简介：齐欣（1976-），男，山东临清人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学教学.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三学段（7～9年级）的“学段目标”中提出：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.中考填空压轴题经过命题者精心设计，典型性是不言而喻的，能否探究挖掘例题的思维价值，充分发挥例题的辐射作用，使之有效服务于数学教学，提高数学教学效率，体现了一名数学教师的基本素养.

1 试题呈现

题目 （2015年上海中考第18题）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于多少？

2 教育价值分析

2.1 培养思维能力

本题用到解直角三角形、相似、勾股定理、等腰三角形性质、旋转的性质及一元一次方程、一元二次方程、分式方程、方程组、二次根式化简等知识，应用旋转变换的基础知识，画图分析问题、解决问题的能力，探究转化能力，建立有效数学模型的能力.这正是选择本题作为例题的意图.图形变换能很好地促进和发展学生的空间想象能力、逻辑思维能力[1].例题涵盖知识面广、解法多，有较大的探索空间，有利于学生探究及思维能力的培养.从不同的思维角度分析解答同一道题目，得到不同的解题方法.这种一题多解的训练，在教学中经常用到，它有利于培养学生的发散思维能力，增加题目涉及的知识广度，提高课堂教学效率.另外，对不同的解法进行比较，引导学生进行评价，能让他们更好地优化解题思路，总结解题规律，是一种聚合思维的训练.

2.2 体会转化思想

探究三角形中线段长度的求解方法，明确问题转化的方向，通过探究转化模型，优化解题方法，培养学生的思维能力和品质是教学的主要目标[2].为了更好地渗透“数形结合、转化”的数学思想和体现例题的辐射作用，训练学生的思维能力，提炼解题模块和基本图形，生成了7个转化模型.转化思想一方面体现在解题的具体操作过程中，更重要的是例题的不同解法表明：探究以上思路的可行性，更好地通过解题体会知识之间的转化过程，发现知识的相互联系，理清知识脉络，构建网络体系.

3 解法探究

3.1 “垂线”转化

解法9～14似乎将简单的问题复杂化了，但是，这样的思维却能使我们的探索更加深入.纵观添加了辅助线的各种解法，作垂线转化是共同之处，促进了知识的融会贯通.

5 结语

根据教学目标和知识特征，结合具体学情，采用适当的教学方法，有目的性、有针对性、有选择性、收放自如地引导学生学习，激发学生的求知欲，教给学生探究的方法和策略，培养科学的探究精神.在学习基础知识、掌握基本技能的同时，对基本的数学思想方法逐步深化认识，积累良好的基本活动经验.这就是对例题的教育价值进行的分析.是教师的真功夫，以便站在一定的高度上弄清例题的解法，把握编者或命题者的意图，使教学更加游刃有余[3].

这样做，从数学知识的角度来看，打通了知识之间的联系，形成良好的知识网络体系;从思想方法的角度来看，渗透了通过添加辅助线来转化思想方法;从问题的解决过程来看，加强了三角函数、勾股定理、三角形相似、图形面积之间的联系，巩固了一元二次方程、比例、分式方程、二次根式化简等知识，提高了运算能力.更重要的是提炼解题规律，积累解题模块和数学思想方法，使学生对解决同类问题有思路和方法可循.

初中数学的教学实践证明，例题教学的目的一定是积累解决问题的方法和解题经验，既能夯实基础知识，又能让学生感悟基本数学思想方法，积累基本解题活动经验及解题模块.探究转化模型的教学达到了让学生寻找联系、展开探究、激活思维的目的.数学的教学特别要重视提炼数学模型，积累解题模块，让学生学会以整体、联系、动态的观点进行思考，使零碎、隐性的解题经验显性化、系统化.

在解题教学中通过挖掘例题潜在的思维价值，激活学生思维，主动探究解决问题的方法并积累解题经验，这不就是数学教师追求的永恒主题吗？

参考文献：

[1]張春英.近五年上海中考第18题引发的教学思考[J].上海中学数学， 2015（Z1）：22-23.

[2]齐欣.一题多变 贵在转化[J].福建中学数学， 2009（02）：44.

[3]张振兴.一题多解，探寻教材例题的教学价值[J].中国数学教育，2012（23）：41-44.

（收稿日期：2020-12-19）