一道初中数学题引发的教学思考

江苏省盐城市大丰区实验初级中学 陆 梅

一、试题呈现

（2018 年苏州市中考数学第16 题） 如图，8×8 的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上。若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则r1∶r2的值为——。

二、试题解答

解：根据圆锥的侧面积知识可得：弧AB的长度为2πr1，弧CD的长度2πr2，故r1∶r2=弧AB的长度∶弧CD的长度。如果设∠O=n0，那么运用弧长公式可得：r1∶r2=OA∶OC。再利用网格中的直角三角形求出OA、OC的长度，即r1∶r2=2 ∶3。

学生探究（1）：线段OA与OC的比值可用△OAB∽△OCD求出：r1∶r2=OA∶OC=AB∶CD=4 ∶6=2 ∶3。

学生探究（2）：既然弧AB的长度与弧CD的长度之比就是线段AB与CD的比值，那么不规则图形ABDC的面积能否用梯形面积公式求：上底是弧AB的长度，下底是弧CD的长度，高是AC的长度。学生分两大组验证：若∠O=60°，结果都一样。

三、案例分析

本题是圆锥的侧面积问题，虽放置在网格图中，但中规中矩，符合学生平时练习风格，能使考生的紧张情绪有所缓解。如果考生理解圆锥底圆半径和它的侧面展开图中弧长之间的等量关系，易求解问题。而有学生未求OA、OC长度，利用图中三角形相似转化求解，实质就是理解了命题设计的意图：精心布局在网格中，巧妙设计，为巧妙解法的孕育提供了肥沃的土壤，利于实现对学生核心素养的考查。

但未曾想到，有学生为此想到了逐渐逼近的转化思想：化曲为直，这也许命题者设计时也未曾料到。可以想象，如果不进行问题解答后的再思考，就无法全面开发出问题所有的价值及其背后所隐藏的对应的数学思想，也就是如果教学中以题解题，不深入本质的解题，不仅不能提高课堂教学质量，也不能提升学生的智慧，还会扼杀学生的灵性。

四、教学思考

1.有效的课堂源自学生意外的“精彩”

记得有一次在分析二次函数图像沿x轴翻折时，只是关注了抛物线的形状、大小不变，开口方向发生变化，而忘记了顶点也发生变化，问题分析完毕竟然没有一个学生质疑。其实平时很多学生课堂上就是这样：认为老师讲的都是正确的，因此上课围着老师“转”。那么这样的课堂缺少了什么？学生究竟需要怎样的课堂？为此，不断反思自己的课堂教学：不设计大容量的课堂教学，课堂上为学生的思维活动留有足够的时间和空间，充分展示学生的思维过程，引导学生从不同的角度、思路探索问题。另外，在课堂教学中，学生的思维反应有不可预测性，因此，不管学生的想法是否偏离教学预期，都鼓励学生大胆发表自己的想法，让课堂中出现的意外变成课堂的“精彩”，同时也转化为学生的知识和能力。从此以后，数学课上的开放与宽容让很多学生都积极投入，数学课的效果就慢慢地凸显了，几届学生的中考成绩（农村初中）超过了市平均。

2.意外的“精彩”转变了学生解题后反思的习惯

荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学活动的中心。”就本案而言，推导出两个圆锥底面半径之比是OA∶OC，似乎问题解答结束了，但有学生思考出用相似三角形解决，就发现了学生审题审图的能力不一般，甚至是对问题求解后的孜孜不倦。就此源于课堂教学中重视学生意外的“精彩”的引导：刚开始学生可能不知道或不习惯解题后的反思，教师就是利用课堂教学中的这些意外的“精彩”，鼓励学生模仿后进行作业批阅后的纠错。记得有位学生从初一下学期开始进行数学纠错，纠错本上不仅仅是错题的更正，更多的是写错误的原因和自己再做后的心得，他的错题本成了班级同学的榜样，三年的坚持，中考数学考了120 多分。还有一位男生，在课堂讲评作业时，常常发表自己解题后的想法。在他的引领下，很多学生在老师讲评作业时不甘寂寞，甚至上讲台发表自己的解题新想法。课堂的引领，学生的投入，反思加深了他们对知识的理解，使得他们能够及时改正错误或有新的发现，从而为后来的学习奠定基础，使得数学学习更有效果。

3.意外的“精彩”有助于学生的思维从浅层走向深度

纵观一些“一听就会，一看就懂，一做就错，一过就忘，一考就晕”的学生，究其原因，学习没有用心，学习缺少思考，学习滞留在浅层学习的状况。因此课堂上要让学生的数学思维逐步由易到难，由浅入深，举一反三，就如波利亚在《怎样解题》中说的：“数学教学的目的在于培养学生的思维能力。”本案中问题的进一步完善，激发了这位学生的有感而发。课堂上教师的引导应该是唤醒学生对旧知的应用，开放和宽容为学生创设了尽量多的发挥空间，为学生的意外的“精彩”提供丰富的可能性，使学生在自我发现、相互质疑、合作交流中自然合理地接受知识。

自从改变课堂教学中的学生观后，摒弃了课堂中题目的堆砌，而是从审题审图开始，仔细推敲，并且不断演变，让学生体会问题的前因后果，在此过程中深入挖掘问题背后隐藏的所对应的思想方法，提升学生不同方面的能力，让学生的思维从浅层走向深度。

一节一节数学课，犹如一滴一滴水珠，一滴水珠也可以折射太阳的光辉。