圆锥曲线中“代换计算”思想的“威力”

张海毅

摘 要 从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查。对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决，其严密的分类讨论，较强的逻辑思维，大量的计算等使得同学们望而生畏，因而掌握一定的计算技巧与规律，可以在很大程度上降低其难度，进而取得较好的成绩，本文笔者将通过一道质检试题，类比出一类题目的共性，从而给大家一些启示与建议。

关键词 圆锥曲线 代换计算

中图分类号：G623.5文献标识码：A

2020年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题第21题：已知动圆Q与直线x+=0相切，且与圆x2+y22x+=0外切。

（1）求动圆Q圆心轨迹C的方程;

（2）已知点P（1，2），过F（1，0）且斜率存在的直线与轨迹C交于A，B两点，直线AP，BP分别交直线x+1=0于S，T两点，求证：以ST为直径的圆过定点。

【参考答案】（1）易知曲线C的方程为2=4x。

（2）设直线：，，，则，，。设直线AP，BP的斜率分别为，，又，则，

从而。又以ST为直径的圆的方程为，即，

故当时，该等式恒成立，所以以为直径的圆恒过和。

【命题立意】

本题考查了轨迹方程的求法，方程思想，整体代换，设而不求，直径圆的方程等知识点，体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

【点评】参考答案给出的方法是研究直线与圆锥曲线问题的一般方法，在这一类问题的研究中具有代表性，但过于追求通法通性，在一定程度上降低了问题的个性，从而导致了思维量與计算量都比较大，其可操作性较低，与普通高中生所具备的数学逻辑推理能力与数学运算能力差距较大，在答卷中运用此法成功取得答案的同学寥寥无几，故而提示我们，能否从其它的角度得到一些思考。

另解：（2）易知位于上，且直线AP、BP斜率均存在且不为0，故不妨设，，则，则 ，故，故，代入可得，所以，。

设以ST为直径的圆所过定点为，则，故当，时，所过定点为（1，0）或（3，0）。

方法点津：此法巧妙地借助了直线AP，BP在计算中的重复性，恰当地运用了“代换计算”的思想，在很大程度上减少了计算量，节约了计算的时间，提高了计算效率，使得该题的计算难度陡然降低，效果甚好。此法在解析几何的很多题目都有应用，以下举例说明“代换计算”的思想在解析几何题目中的应用。

应用举例：设动点到定点的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程;

（2）设是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线过点D，且，它们的倾斜角互补。若直线与曲线C的另一交点分别为M，N，证明直线MN的斜率为定值。

解析：（1）依据抛物线的定义，易知曲线C的方程为，。

（2） 设直线的斜率为k，且，的倾斜角互补，故的斜率为。

则，则，故，故，代入可得，所以，将此式中的k用k替换，可得，则，，故。

对于圆锥曲线的综合性问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件;②要重视利用图形的几何性质解题;③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙地运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转化”等方法。尤其是涉及到轮换计算的问题时，可适当地采用“代换计算”的思想方法，在一定程度上可以达到事半功倍的效果。