圆锥曲线中“代换计算”思想的“威力”

2020-06-15 04:07张海毅
科教导刊·电子版 2020年7期
关键词:易知斜率定点

张海毅

摘 要 从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查。对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决,其严密的分类讨论,较强的逻辑思维,大量的计算等使得同学们望而生畏,因而掌握一定的计算技巧与规律,可以在很大程度上降低其难度,进而取得较好的成绩,本文笔者将通过一道质检试题,类比出一类题目的共性,从而给大家一些启示与建议。

关键词 圆锥曲线 代换计算

中图分类号:G623.5文献标识码:A

2020年宝鸡市高考模拟检测(一)数学(理科)试题第21题:已知动圆Q与直线x+=0相切,且与圆x2+y22x+=0外切。

(1)求动圆Q圆心轨迹C的方程;

(2)已知点P(1,2),过F(1,0)且斜率存在的直线与轨迹C交于A,B两点,直线AP,BP分别交直线x+1=0于S,T两点,求证:以ST为直径的圆过定点。

【参考答案】(1)易知曲线C的方程为2=4x。

(2)设直线:,,,则,,。设直线AP,BP的斜率分别为,,又,则,

从而。又以ST为直径的圆的方程为,即,

故当时,该等式恒成立,所以以为直径的圆恒过和。

【命题立意】

本题考查了轨迹方程的求法,方程思想,整体代换,设而不求,直径圆的方程等知识点,体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

【点评】参考答案给出的方法是研究直线与圆锥曲线问题的一般方法,在这一类问题的研究中具有代表性,但过于追求通法通性,在一定程度上降低了问题的个性,从而导致了思维量與计算量都比较大,其可操作性较低,与普通高中生所具备的数学逻辑推理能力与数学运算能力差距较大,在答卷中运用此法成功取得答案的同学寥寥无几,故而提示我们,能否从其它的角度得到一些思考。

另解:(2)易知位于上,且直线AP、BP斜率均存在且不为0,故不妨设,,则,则 ,故,故,代入可得,所以,。

设以ST为直径的圆所过定点为,则,故当,时,所过定点为(1,0)或(3,0)。

方法点津:此法巧妙地借助了直线AP,BP在计算中的重复性,恰当地运用了“代换计算”的思想,在很大程度上减少了计算量,节约了计算的时间,提高了计算效率,使得该题的计算难度陡然降低,效果甚好。此法在解析几何的很多题目都有应用,以下举例说明“代换计算”的思想在解析几何题目中的应用。

应用举例:设动点到定点的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;

(2)设是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线过点D,且,它们的倾斜角互补。若直线与曲线C的另一交点分别为M,N,证明直线MN的斜率为定值。

解析:(1)依据抛物线的定义,易知曲线C的方程为,。

(2) 设直线的斜率为k,且,的倾斜角互补,故的斜率为。

则,则,故,故,代入可得,所以,将此式中的k用k替换,可得,则,,故。

对于圆锥曲线的综合性问题,①要注意将曲线的定义性质化,找出定义赋予的条件;②要重视利用图形的几何性质解题;③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题,巧妙地运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转化”等方法。尤其是涉及到轮换计算的问题时,可适当地采用“代换计算”的思想方法,在一定程度上可以达到事半功倍的效果。

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