发展学生逆向思维

李林美

逆向思维也称求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式，数学上常指从结论往回推，倒过来的思考。当一个人的思维向一个方向进行，或者形成一个固定的顺向模式时，要转变思维的方向就需要通过相应的学习活动来实现。

一、活动的构想与设计

低年级学生需要借助具体、有趣的数学活动来学习逆向思维。以下结合学生爱玩的天性和实际教学需要，设计了 “玩弹珠”一课的教学。

（一）动手动脑相结合，专注逆向思维

弹珠是小朋友的玩具之一。用小朋友喜欢的玩具作为学习材料，更能激发学生的探究热情。学生在经历了“猜想、观察、发现、归纳”等一系列活动的过程中思考问题，发现问题，找到解决问题的方法，在探究学习中运用逆向思考，发展学生的逆向思维能力。

（二）活动中学习逆向思维

“玩弹珠”采用的学具是弹珠和带有坡度的深浅不一的弹珠洞。学生通过实践，发现弹珠滚入弹珠洞前后的排列情况。

整个数学活动考虑从两个方面来发展学生的思维能力：一方面是顺向思考，计算弹珠洞的每个洞最上面一颗弹珠的编号之和。另一方面是逆向思考，根据每个洞最上面一颗弹珠的编号之和来排列弹珠的位置，经历从顺向思维到逆向思维的过程，并着重学习已知编号之和来排列弹珠位置的方法，发展学生的逆向思维能力。

（三）活动目标

1.经历滚一滚弹珠的操作活动，知道弹珠是按顺序滚入弹珠洞的，依次填满高低不同的几个弹珠洞，每个弹珠洞从下往上被填满。能在滚珠子的活动中观察到每个弹珠洞最上面弹珠的编号，正确求和。

2.借助学习材料， 尝试根据弹珠滚动后的结果（每个弹珠洞最上面弹珠的编号之和）来设计出弹珠滚动前的位置。引导学生从正向思考到逆向思考，发展逆向思维。

3.学生动手与动脑相结合，形成数学活动经验，充分感受数学活动的乐趣。

（四）活动流程

二、教学实践

（一）微课欣赏，了解弹珠的玩法

1.欣赏及交流弹珠的玩法。

师：弹珠有很多种玩法，我们来了解一下。

（师生共同欣赏弹珠的玩法）

师：你们是怎么玩弹珠的？

（生交流玩法）

2.出示课题。

师：这节课我们一起来玩弹珠。

（二）估一估，滚一滚，探索“滾弹珠”活动

1.比眼力——能藏几颗珠子。

师：这是弹珠洞，每个小朋友手里都有弹珠，当弹珠滚入弹珠洞，每个弹珠洞（从左到右）最多能装几颗弹珠呢？你是怎么想的？

生：我估计左起第一个弹珠洞能装1颗，第二个能装4颗，第三个能装2颗。

生：我认为左起第二个弹珠洞只能装3颗，因为这个洞口不平的，要以低的那个口子为准，如果4颗就滚到下面去了。

师：到底能装几颗呢？我们来滚一滚。

一生示范，其余学生观察，看看自己的猜测是否正确。

生： 第一个弹珠洞能装1颗，第二个能装3颗，第三个能装2颗。

师：这里还有几个不同的弹珠洞，请同学们估计它们各能装几颗，用手势表示。

（课件展示各个弹珠洞能装的数量）

2.感受弹珠依次滚入弹珠洞的过程。

师：（见下图）这些编号弹珠落洞后分别滚入哪里？

先独立猜想，再和同桌交流你的想法，最后动手操作验证。

师：你能具体说说弹珠滚入弹珠洞的情况吗？

生：左边的弹珠洞先滚入弹珠，第一个弹珠洞装满后弹珠滚到第二个、第三个弹珠洞。

3.理解弹珠滚动前后次序及滚动后所在位置。

师：你能说说弹珠滚动前的排列和滚入弹珠洞后的排列吗？

生：滚动的时候弹珠按从右到左的次序进行（最左边弹珠洞中先滚入右边的第一颗弹珠），滚动后的弹珠在每个洞中是从下到上排列的，即弹珠最先滚入洞口最高的弹珠洞，弹珠洞中弹珠排列的顺序是下面2号，上面1号……

师：请完整地说一说弹珠滚动的次序及滚入弹珠洞后各个弹珠的相应编号。

生：滚入最左边弹珠洞的弹珠次序是：从下往上2号、1号，滚入中间弹珠洞的弹珠次序是：从下往上6号、3号、5号，滚入最右边弹珠洞的弹珠是4号。

师：现在我们把滚入弹珠洞的弹珠还原到滚入前的排列位置，再次观察弹珠前后的位置。（倒推弹珠的初始位置，学生初步感受逆向思考和操作）

师生总结：我们发现弹珠滚入哪个洞和弹珠滚动前的排列次序有关，还和弹珠洞深浅（能容纳弹弹珠的个数）有关。

（三）提出问题，探究和解决问题

1.提出问题（根据弹珠洞最上面编号求和）。

师：如果进洞后每个弹珠洞的最上面弹珠编号之和就是你的得分，算一算，你得了几分？（出示下表）

[ 最上面弹珠编号 得分 最左边弹珠洞 中间弹珠洞 最右边弹珠洞 ]

2.探究和解决问题（根据编号之和最大或最小设置弹珠位置）。

（1）如果我想分数最高，那么这些弹珠最初该怎么排列？

（小组讨论，排一排位置，滚一滚，填一填上表）

师：经过比较，第三组的得分最高，说说你们的设计思路。（从顺向求弹珠的编号和到逆向思考要使编号之和最大，应怎样排列弹珠的初始位置，通过逆向思考来解决问题）

生：我们想把编号最大的弹珠滚在每个弹珠洞的最上面，然后就想6号、5号、4号弹珠放在哪些位置上，就会在它们滚入弹珠洞后出现在每个弹珠洞的最上面。

生：根据滚入的顺序，应该把它们放在从右往左的第2个、第5个和第6个位置上。

师：你这样设计的理由是什么？（通过语言的描述，外化逆向推断的过程，同时与操作活动相结合，促进学生深入体会逆向思维）

生：在刚才滚弹珠的过程中，我知道弹珠入洞后是从下往上填满弹珠洞的，滚动后我知道从右往左的第2个、第5个和第6个位置上的弹珠会出现在三个弹珠洞的最上方。

师：那4号、5号、6号弹珠放在这三个位置上有指定的位置吗？比如4号是不是一定要放在从右到左的第二个位置上。

生：我们发现，这三个位置上可以任意摆放4号、5号、6号弹珠，不会影响结果，因为得分都是将这三个数加起来。

生：交换加数的位置，得数相同。

（2）如果要得分最少，你觉得应该怎样排列弹珠的位置？

（生独立思考后师指名交流）

生：从右往左数的第2个、第5个和第6个位置上，放1号、2号、3号这三个编号的弹珠。

师：你是怎么想的？

生：找到每个弹珠洞最上面弹珠在落洞前的次序，并将编号之和最小的三个数摆放在这三个关键位置上。

（四）深化问题，拓展练习

1.深化问题情境。

师：同样是编号为1～6号的6颗弹珠，3号已经排在从右到左的第6个位置上，剩下的5颗怎样排列，滚入弹珠洞后三个洞最上面弹珠之和刚好是13分？

（生独立尝试解决问题，小组操作验证）

师：要解决这个问题该从哪里入手？

生：观察弹珠洞分别能滚入弹珠的颗数，分别是1颗、3颗和2颗。那么最上面的三颗弹珠是从右往左排的第1个、第4个和第6个。

生：先找出和是13的三个数可能是哪三个，然后把这三个数摆放在从右往左数的第1个、第4个和第6个位置上。

生：现在第6个位置已经知道了是3号，那么剩下第1个和第4个位置上的两颗弹珠之和为10。我们计算13=3+（）+（），两颗弹珠的编号分别是4号和6号。

师：你们想得对吗？和同桌验证一下。（已知和求加数的可能性的组合，是逆向计算与位置排列推断的结合，对学生运用逆向思维解决问题提出了进一步的要求，在解决问题的过程中促使学生逆向思维的发展）

总结：根据总分设计弹珠位置分三步走，找到弹珠排列的几个关键位置;尝试找到总和符合要求的那几颗弹珠;排列后验证。

2.拓展练习。

师：如果这6颗弹珠（编号为1～6）的排列位置都不知道，要求入洞后最上面弹珠之和刚好是11分。那你知道要怎样排列吗？比一比，谁的方法多。

（同桌讨论，完成下表的填写。之后反馈学生的设计方法，交流想法）

[ 最左边弹珠洞最上面的编号 中间弹珠洞最上面的编号 最右边弹珠洞最上面的编号 总分 方法1 11 方法2 方法3 ]

（五）总结经验，形成结论

师：根据弹珠编号和来设计弹珠排列位置，你有什么好的经验和大家分享？

生：先要把能组成总分的那几个编号的弹珠找出来，再把这些数的弹珠排列在关键的位置上。

生：编号和的列举要有序，把所有情况都考虑周到。

师生总结：在解决问题时，我们可以顺向思考，也可以倒过来想一想。从结果出发来解决问题，许多问题就能迎刃而解。

三、教学反思

（一）玩中学，感受逆向思维

“玩”是孩子们的天性，有了动作，儿童的思维就会更流畅。让学生在操作活动中亲历发现和研究的过程，能培养其数学思维品质，为其后续的学习打好基础。

活动设计力求学习活动的变化和有趣。学生把弹珠滚入三个不同的弹珠洞，再把滚入弹珠洞的弹珠还原到滚入前的排列位置，并观察弹珠前后的所在位置，初步感受逆向思维。

（二）活动充分结合逆向思维

活动先是求三个弹珠洞最上面3个编号的和，接着根据和的最大或最小来排列弹珠的位置。根据和排列弹珠的位置，需要从结论往回推，倒过来思考6个数中和最大是6+5+4，和最小是1+2+3，并根据和的不同要求把这些编号的球摆在相应的位置上，引导学生从运用顺向思维解决问题转变为运用逆向思维来解决问题。

在拓展练习环节，教师围绕用“1～6”编号的6颗弹珠进行排列，设计了已知弹珠洞最上面的弹珠编号和是13，其中3号排在从右往左数的第6个位置上，剩下的5颗弹珠如何进行排列的活动。活动中学生首先猜测、验证三个弹珠洞最上面的彈珠是摆放在从右往左数的哪几个位置上的弹珠;接着发现和是13的三个数的组合情况，即13=3+（）+（），在1～6的数中，只有3+4+6这种情况。整个教学过程给予学生充足的活动时间，引导学生观察和发现，学生学习的不仅仅是一个题型，而是一种思维方法。

（三）活动设计有层次

第一层次：用6颗已经编号的弹珠，通过滚一滚，观察各个弹珠滚入三个从左到右的弹珠洞，接着还原弹珠的初始排列顺序，初步感受逆向思维。

第二层次：根据得分最高或最低来排列弹珠位置。由结果出发，经历分析、排列、验证、归纳等过程，培养学生的逆向思维。活动中学生获得了成功的体验。

第三层次：让学生根据结果（已知编号和）来设计弹珠的摆放位置。这一环节中，弹珠滚入三个弹珠洞的前后排列位置，结合数（和）的几种组成情况，排列结果有多种，问题难度提高，促使学生在解决问题的同时归纳出解决问题的方法，体会逆向思维在问题解决中的价值。

（浙江省杭州市建新小学   310005）