厘清原理本质 凸显思考过程

张敏

【摘   要】“抽屉原理”安排在小学教材中的意图是让学生经历“数学证明”的过程，学会用数学的思维去分析问题和解决问题。这一内容的教学不同于一般的解决问题的教学，因此教师需对“抽屉原理”进行深度挖掘，并了解学生的基础，最后提出相应的教学对策。

【关键词】鸽巢原理;教学;对策

鸽巢问题（抽屉原理）是人教版六年级下册“数学广角”的内容，其最基本的模型是：若n+1只鸽子要飞进n个鸽巢里，则总有1个鸽巢至少飞进2只鸽子。教学中教师往往将这一内容等同于一般的解决问题，花大量的时间分析解题方法，满足于学生会列式解答。从“四基”的角度看，这忽视和弱化了引导学生对过程的体验和思想的感悟。

一、原理深究

教师的教学源于对鸽巢问题本质的充分了解。因此，笔者就以下问题进行了深入的辨析和思考。

（一）生活常识与数学原理

“原理”是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的，反过来又指导实践。抽屉原理可以进一步表述为：假如有多于n个元素按任一确定方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有2个元素。更一般地说：把多于kn（k是正整数）个元素按任何方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有（k+1）个元素。它被广泛而深入地运用于现实生活中的解决问题，成为人们的常识。

（二）构造性与存在性

鸽巢问题的核心是解决存在性问题，即“一定没有意外”地存在一个鸽巢满足要求，但不能确定究竟是在哪个鸽巢里，也只知道某个鸽巢里至少有2只鸽子，却不能确定究竟是多少只。只要能论证它的存在“一定没有意外”即可。而一般的解决问题，往往可以通过一定的方法求出具体的解，也即“构造”出确定的结果。比如“鸡兔同笼问题”，最后总能求出鸡和兔分别有几只。像这样要确定存在性的命题是首次出现，因此对学生来说具有较大的挑战性。

（三）穷举检验与逻辑论证

张奠宙教授认为“学习抽屉原理的意义在于丢开穷举检验，诉诸逻辑论证”。列举法与其说是一种解题策略，不如说是一种数学活动更为合适，有时要做到“不重复不遗漏”列举所有情况并非易事，此时逻辑推理反而比穷举更容易理解。因此本节课要适当淡化穷举检验，突出“逻辑推理”。

二、学情分析

为了探明学生学习时可能存在的问题，笔者就教材例1“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？”的问题随机调查了几位六年级的学生。学生直觉上都认为结论是正确的，但无法清楚地阐述原因。其中有一位学生举例（1，1，2）的情况，笔者追问还有其他情况吗？学生无法自圆其说。究其原因，主要有以下几点。

（一）抽象的语言和理解的偏差

学生之所以能想到（1，1，2），是将题目中的“分”直接等同于“均分”。这主要是基于他们平时接触的数学问题中，凡是涉及分物的，大多是“均分”。“总有一个鸽巢中至少飞进2只鸽子”这一表述，每个词语都有丰富准确的含义。“总有”揭示的是存在性，“至少”可以理解为“最多中的最少”。要让学生真正理解这两个词语的含义，需要教师的智慧进行引导。

（二）独特的方法和思維的局限

学生的惯性思维是将问题与答案一一对应，用到的是算术知识、几何知识和简单的代数知识。而鸽巢原理阐述了“不确定中的确定”，无论是原理的叙述还是证明，都无须明确找出这个鸽巢，也无须深究这个鸽巢里到底有多少只鸽子。只须确认结果“一定存在”即可。面对这样一个“开放”度很大的问题，势必需要寻求异于常规的方法。思考的过程既离不开一般的思维方法，还需要敏锐的数学直觉、全局的洞察力和独特的构思。

（三）应用的复杂和对应的障碍

鸽巢原理有诸多变式，最难的是找到相对应的要素——鸽与巢。教材练习十三中的第6题，绝大多数学生感到无从下手，因为他们无法找到这一实际问题与鸽巢原理模型之间的联系。要解决这个问题先要明确什么相当于鸽子，什么相当于鸽巢。因此，教师要引导学生深刻领悟其中的模型对应，方能做到灵活运用。

三、教学对策

（一）游戏情境，初探本质

教师出示游戏规则，组织全班学生进行游戏。

游戏规则：

1.五人一组，每组一副扑克牌（已经抽掉了大、小王），组员轮流抽取，看是否至少有2张牌是同一种花色的。

2.每人每次抽1张，组长做好记录。

3.五分钟时间，能玩几轮就玩几轮。

教师展示其中一组的数据，引导学生对照自己组的结果进行深入思考。在这个过程中学生感知到了事件出现的随机性和结果发生的必然性，对“总有”和“至少”有了初步的理解。

（二）动手操作，理解模型

1.出示问题：5只鸽子飞进4个鸽巢，一定存在某一个鸽巢至少飞进2只鸽子的情况。这是为什么呢？引导学生用学具动手操作。

2.反馈交流：学生想到的基本都是（2，1，1，1）的情况。此时教师追问：“每个鸽巢一定要有鸽子吗？”“最后一只鸽子可能会飞到哪个鸽巢？”“面对那么多种可能，你打算怎么记录？”“这些方法有什么共同点？”并结合多次移动最后一只鸽子这一动作，帮助学生经历探索过程。

3.枚举检验：引导学生思考除了（2，2，1，0），还有可能出现哪些情况？从而枚举出所有可能，发现不管怎么飞，总有一个巢里至少飞进2只鸽子。

4.沟通联系：鸽巢问题中，什么是确定的？什么是不确定的？和扑克牌游戏有什么相同之处？

5.变式练习：如果撤掉一个鸽巢，有5只鸽子飞进3个鸽巢，总有一个巢里至少飞进几只鸽子？同桌合作继续用学具进行探索。

（三）逐步变化，练习巩固

1.出示问题：把11本作业本放进5个抽屉，不管怎么放，一定存在某一个抽屉里至少有3本的情况。这是为什么呢？请用算式表达你的推理过程，并画示意图进行解释。

2.总结规律：如果有14本作业本会怎样呢？15本、16本作业本呢？引导学生观察上述算式和结论，从而总结规律。

（四）链接生活，运用模型

1.自主举例：生活中有哪些问题可以用鸽巢原理去解释？从而感受鸽巢原理的普适性。

2.运用模型：我们班一共有45名同学，你能得出什么结论？学生展开联想：将全班45名学生看作“鸽”，将学生的性别、属相、出生月份等看作“巢”，从而得出相应的结论。

“教学对于学生的学习与发展价值不在于结果之中，而在于过程之中。”以上教学通过四次操作，多种方法结合，有效解决了教学难点，培养了学生的学习能力。

参考文献：

[1]黄敏晃.从鸽巢原理谈起[J].小学教学数学版，2010（09）.

[2]杨建斌.走进小学数学教材中的“抽屉原理”[J].小学教学数学版，2014（10）.

[3]郑毓信.从“一一列举”到“抽屉原理”[J].小学数学教师，2015（03）.

（浙江省温岭市泽国小学    317523）