让策略中蕴含的数学思想“凸”出来

徐宏臻 陆兆芬

【摘   要】将策略中蕴含的数学思想充分地“凸”出来，并让学生真切地感悟到的关键是做实、做足和做好过程。教师首先要认识到数学思想的价值。其次，要找到策略中隐含的最主要的数学思想。再次，要设计精当的教学活动，让学生充分经历策略“诞生”的过程，并通过回顾、反思和交流等，让数学思想“凸”出来。最后，要在不断地运用中强化体验，深化认识，从而以数学思想的教学带动数学知识的学习。

【关键词】寻找思想;经历过程;感悟思想

“解决问题的策略”的设置是苏教版教材编写的一大特色，教材从三年级开始，一直到六年级，每册都单独编排一个单元，专门教学“解决问题的策略”。一般说来，策略是指计策和谋略，“解决问题的策略”介于数学思想和具体方法之间，它比具体方法上位些，是数学思想在解决问题时的具体运用。数学思想是数学的灵魂，《义务教育数学课程标准（2011年版）》重视数学思想的渗透，指出数学思想“蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。相比而言，策略和方法比较显见，而策略中蕴含的数学思想却是隐蔽的，不易被学生察觉，为此，需要教师透过现象看本质，揭开数学思想的面纱，设计适当的教学设计和必要的数学活动，让数学思想“凸”出来，并被学生感悟到。

如何让策略中蕴含的数学思想充分地“凸”出来，并让学生真切地感悟到呢？笔者认为，关键是要做实、做足和做好过程，让学生在过程中逐步体验数学思想。教师首先要认识到：教学不仅是教策略，而且是教数学思想。其次，要找到策略中隐含的最主要的数学思想。再次，要设计精当的教学活动，让学生充分经历策略形成的过程，并通过必要的回顾、反思和交流等，让数学思想“凸”出来。最后，还要在不断地运用中强化体验，深化认识，让学生形成运用的意识和能力。现以苏教版四年级上册“列表的策略”教学为例，谈谈笔者在这方面的一些想法和做法。

列表的策略中蕴含的最主要的数学思想是分类和对应的思想，即分门别类地整理信息，以便快速地解决问题。教材中的例1如下图所示。

例題已把三种树按树名、每种树栽的行数和每行栽的棵数分别进行了有序的整理，并按同样的顺序一一出示，整齐且简洁，还配图示意。笔者认为，教材这样处理，明显有较多的人为加工的痕迹，这不利于学生产生强烈的整理信息的需要，也不利于学生亲自经历列表整理信息的过程，学生难以学到列表整理信息的方法，难以感受到列表的价值，更难以体悟到其中蕴含的数学思想，使例题的教育价值打了折扣。为此，笔者改进如下。

一、充分经历形成的过程

笔者先把三种果树的树名、每种树栽的行数和每行栽的棵数随意地排列，并用七个活动板块呈现在黑板上，如小芳家栽了4行梨树，8行杏树，3行桃树，梨树每行5棵，桃树每行7棵，杏树每行6棵。桃树和梨树一共有多少棵？笔者让学生看题后直接解答，并一一展示列式和结果。学生惊讶地发现，列式和结果互不相同，不禁迷惑起来。这时，笔者让学生说说做题后的体会。学生普遍感到：信息太多，太乱，没有条理，叫人眼花缭乱，需要整理一下。笔者顺势引导学生：那怎样整理才算有条理呢？学生认为，应该把桃树归桃树放在一起，杏树归杏树放在一起，梨树归梨树放在一起。于是，笔者让学生上台自主移动板块进行整理，学生归类整理为：小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，杏树每行6棵，8行杏树，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？笔者问学生：现在归类了，你觉得怎样？学生说：比过去清楚多了，但还是有点乱，因为桃树是先出现行数，再出现每行的棵数，而杏树是先出现每行的棵数，再出现行数，梨树又是先出现行数，再出现每行的棵数，顺序不一致。笔者顺势问学生：那怎么调整才更有条理、更清楚呢？学生认为，要统一。要么先出现每种树的行数，再出现这种树每行的棵数;要么先出现每种树每行的棵数，再出现这种树的行数。在分类的基础上，学生已经萌发了有序和对应的思想。于是，笔者让学生继续移动板块，学生整理为：小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，8行杏树，杏树每行6棵，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？但也有学生反对说：问题是求桃树和梨树一共有多少棵，与杏树无关，应该把有关杏树的信息去掉。学生最终整理为：小芳家栽了3行桃树，桃树每行7棵，4行梨树，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？这时，笔者再问学生有何感受，学生说：有条理多了，简洁多了，清楚多了。但仍有学生反对说：文字还是多了，不能让人一目了然，还可以进一步简化。于是，笔者放手让学生进一步整理，结果如下。

有的学生认为，上表还可以继续简化，可以把“桃树”“梨树”这一列单独合并为一列，叫“树名”;把“3行”“4行”单独合并为一列，叫“行数”;把“每行7棵”“每行5棵”单独合并为一列，叫“每行棵树”，于是整理成右表。

这时，笔者再让学生谈感受。学生认为，用表格收集和整理信息更简洁、更有条理，也更清楚，便于解决问题，可以直接看表分别求出桃树和梨树的总棵数，且不容易混淆和出错。当然，也有少数学生用画图的策略整理信息，同样也体现了分类和对应的数学思想（略）。

笔者先呈现杂乱的信息板块和各种列式，以引发学生的思维冲突，激发其产生强烈的整理信息的需要，再引导学生自主地整理信息，充分经历列表整理信息的过程，逐步从无序到有序，从不对应到对应，从文字到列表，由繁到简，从而让分类和对应等数学思想一步步地“凸”出来，并愈加清晰，被学生鲜明地感悟到。这样，学生就容易学到整理信息的具体方法，他们对表格的结构和含义了然于胸，也容易感悟到其中蕴含的数学思想。

二、不断感悟其中的思想

（一）在对比中感悟

为了进一步凸显列表的价值，笔者引导学生看表说含义，并与原来的文字进行比较。学生认为表格更简单、更清楚，一目了然。笔者追问：你认为，列表时要注意什么？学生认为，要把同类的放在一起，且要注意放的顺序，统一起来，这样才更清楚。通过回顾、反思、比较和交流，策略中蕴含的数学思想“凸”出来了，并被学生初步体验到。学生在以后整理信息时，也会自觉地进行分类，并注意对应，讲究顺序，从而提升整理信息和解决问题的能力。

（二）在解题中感悟

在此基础上，笔者让学生自主解决所求的问题，学生很快就解答出来了。有的学生分步列式计算，并说明了理由：先分别算出桃树和梨树各有多少棵，再相加。还有学生列出了综合算式：7×3+5×4。虽然他们还未学过四个数的混合运算，但根据事理和题中的数量关系，他们认为应分别先算两个乘法，再把两个积相加。学生或运用综合法，或运用分析法顺利地解决了问题。笔者问：在解决这个问题时，你们是选择看文字，还是选择看表格？学生一致认为是看表格，这样更简单、方便和快捷。他们在解决问题的过程中，切实体会到分类和对应给解决问题带来的好处，开始喜欢此策略。笔者再让学生看课始板书的各种列式和结果，学生不禁笑了，说：不列表整理信息，真容易张冠李戴，错误百出。这样就进一步增强了学生对这一策略的体验，促使其更自觉地用此策略去整理信息，从而快捷地解决问题。

（三）在检验中感悟

检验是解决问题的一个重要步骤，也是必不可少的一个教学环节。它可以培养学生良好的解题习惯和学习品质。为此，教师必须切实重视检验习惯的培养，让学生对解题结果负责。笔者引导学生依据表格进行检验，即把表中的某个条件和原来所求的问题互换，看能否由此及彼。如果能够相互推算出来，就证明原来的结果是正确的，否则就错了。学生依据表格探索出多种不同的检验方法，并感到借助表格进行检验简单、快捷，从而更加喜欢列表策略。

（四）在运用中感悟

运用能增强学生对策略的体验，能深化其对策略的理解，形成策略意识和运用能力。为此，必须高度重视策略的运用。笔者从基本应用开始，如让学生列表整理课始呈现的信息，从而求出杏树比梨树多多少棵;到综合应用，如出示“练一练”中的第1题，让学生先根据问题自主整理信息，再解答;再到灵活运用，如直接摘录“练一练”中第2题的关键信息，从而整理为：2件→270元，3件→180元。

最后到根据所求的问题，直接用分类和对应的思想在题中收集和整理信息，从而快速地解决问题。

这样，就让学生拾级而上，不断攀升，淡化了外在形式，强化了分类和对应的思想，使策略中隐含的数学思想愈加凸显，并被学生清晰地、强烈地感悟到，学生也容易学习和运用。

（五）在回顾中感悟

为了进一步凸显分类和对应这些数学思想，笔者还有意进行拓展，引导学生回顾已学过的统计表和统计图，如下图（苏教版四年级上册第40页的内容），具体感受其中蕴含的数学思想。如看图中的统计表，具体说说每行和每列的含义，从而感悟分类和对应等数学思想;再看图中的统计图，具体说说横轴和纵轴的含义，以及每个直条的含义，从而体会分类和对应等数学思想，感受数學思想的价值，从而增强学生自觉运用数学思想的意识。这样设计就能让策略中蕴含的数学思想不断地、充分地“凸”出来，并逐步根植于学生内心。

（六）在选择中感悟

整理信息的策略不止一种，还有其他的方式，教师在具体运用某一策略时，不能顾此失彼，或厚此薄彼，要做到既突出重点，又适当兼顾。为此，笔者在课尾特意设计了一题：姐弟俩共有60张画片。姐姐给弟弟5张后，两人就同样多。姐弟俩原来各有多少张画片？让学生思考：你打算如何整理这题的信息？学生感到这里用列表的策略好像不太适宜，需要改用其他策略，如画图等。可见，这一做法使学生对列表策略有了更全面、更深刻的认识，学会辩证地看待策略，审慎地选用策略，提高了灵活运用策略整理信息和解决问题的能力。

由此想到，在教学“解决问题的策略”时，教师务必注重揭示策略中蕴含的数学思想，重视过程质量，要设法让策略中蕴含的数学思想充分地“凸”出来，并被学生鲜明地感悟到，从而以数学思想的教学带动数学知识的学习，为提升学生的数学素养服务。

（江苏省高邮实验小学   225600）