“一组”“两组”相机用，指向问题真解决

沈强

一、问题提出

人教版四年级下册第91页“平均数与条形统计图”的第二课“踢毽比赛”情境如图1所示。

图1

北师大版四年级下册第90页“数据的表示和分析”的“记住几个数字”情境如图2所示。

图2

两个版本的教材都是通过情境引入，让学生感受平均数学习的必要性。不同点是，前者是以两组数据为问题情境（以下简称“两组数据”问题情境），后者是以一组数据为问题情境（以下简称“一组数据”问题情境）。前者要求从男队5人和女队4人的踢毽个数比较中，分辨出成绩好坏，后者要求从淘气5次记住数字个数情况中，判断淘气能记住数字的个数。

哪种问题情境更适合学生平均数概念的建立和理解？笔者询问了本校近20位数学教师，他们的意见不统一，有的认为“一组数据”问题情境适合作为新课例题教学，有的认为“两组数据”问题情境更利于学生自学。为了弄清楚这个问题，以便取得更好的教学效果，笔者比较了教材和教学设计，进行了学生前测和数学名师访谈的研究活动。

二、教材和教学设计比较

笔者翻阅6个不同版本的教材，发现人教版、苏教版、浙教版、西师版和青岛版5个版本教材的问题情境都是“两组数据”，仅北师大版教材使用“一组数据”问题情境（见表1）。

表1 6个版本教材“平均数”问题情境对比表

[分类 用两组数据 用一组

数据 版本 人教版 苏教版 浙教版 西师版 青岛版 北师大版

问题

情境 踢毽子比赛（人数不相等） 套圈比赛（人数不相等） 投篮比赛（人数不相等） 掷圈比赛（人数不相等） 投篮比赛（场数不相等） 淘气能记住几个数字 ]

通过对比发现，两组数据问题情境都是以比赛为背景，从比赛人数不同或比赛场数不同的情境中，让学生感受到无法用所学过的知识，如总数来解决问题，于是产生“应该怎样比较？”“怎样比较才公平？”等问题，为平均数概念的学习打下基础。学生会借助熟知的经验——教师经常用平均分来比较本年级中人数不同的各班的某学科成绩，来尝试解决问题。

“一组数据”问题情境，呈现的是单个对象从事某种活动多次成绩的一组数据，要求用一个数来衡量该对象的成绩。学生可以凭借的经验是：根据这个学期6次数学单元测试成绩，自我判断或被判断出数学成绩大概在什么水平层次。

两种问题情境的设置各有道理。但“两组数据”问题情境明显多于“一组数据”问题情境。

笔者收集了从2013年到2019年间有关平均数的教学设计36篇。通过对比发现，“两组数据”问题情境有31篇，“一组数据”问题情境只有5篇，两者在数量上相差较大。

三、学生前测及分析

为了判断哪种问题情境更有利于学生平均数概念的建立和理解，笔者随机选取了本市两所学校四年级三个班的学生共119位，进行了测查。

1.第一项测查。测查目的是想了解“两组数据”问题情境和“一组数据”问题情境下学生的前测情况。测试题如下：

第1题：“两组数据”问题情境

第2题：“一组数据”问题情境

第1题测试结果如下：

[选项 A.男生队 B.女生队 C.不能比较 占比 58.0% 22.7% 19.3% 理由 ①39.5%的学生通过计算平均数来解决问题

②13.4%的学生通过直觉判断进行选择

③5.1%的学生理由为其他 ①16.8%的学生通过计算总分获得这个答案

②5.9%的学生理由为其他 ①16.0%的学生认为两队人数不等，所以不能比较

②3.3%的学生理由为其他 ]

第2题测试结果如下：

学生的答案各种情况都有。认为小明60米跑步成绩是“13秒”的最多，占47.9%，这些学生是通过计算平均数得到的。

在“两组数据”问题情境中，39.5%的学生想到了用平均数解决问题;在“一组数据”问题情境中，47.9%的学生想到了用平均数的意义来解决问题。从数据上看，“一组数据”问题情境比“两组数据”问题情境正确率略高一点。

2.第二项测查。测查目的是想了解：学习“平均数”前，学生对“平均数”的认知情况。测试题如下：

对于“你知道‘平均数吗”一题，89.9%的学生选择“知道”，63%的学生能通过举例或画图正确表示出平均数。对计算“5，9，6，6，4”这组数据的平均数，72.3%的学生计算正确，计算错误或不会做的占27.7%。

测试结果表明，学生在学习“平均数”前，对平均数的基本内容和平均数的计算方法已有初步了解。

总之，“一组数据”问题情境和“两组数据”问题情境，想到用平均数解决问题的学生人数两者相差不大。

四、数学名师访谈

“两组数据”问题情境和“一组数据”问题情境，哪种问题情境更能促进学生平均数概念的建立？带着疑问，笔者先后访谈了王建良、顾志能和俞正强三位特级教师。

王建良老师认为：以两组数据为学习素材，比如男女生投篮比赛，人数不相等，哪个队的投篮水平更高？学生发现比总数不够合理，于是想到了“平均数”，这是学生原有生活经验的运用。在此基础上展开对平均数所表示的意义的讨论，会使学生对平均数的认识由模糊变得清晰。用一组数据为学习素材，比如呈现一个人的多次跑步成绩，用一个数据来表示跑步的水平，就此展开讨论，构建起平均数的概念。

从理论上讲，应该是先建立概念，然后再运用概念。按照这个逻辑，用一组数据更合理，更能体现“平均数表示一组数据的集中趋势”的意义。但事实上，小学生的学习过程没有这么严密，而且不能忽视学生原有的生活经验。从两组数据引入更容易让学生感受平均数的现实意义。所以我们不宜用非此即彼的思维方式对“一组数据引入好”还是“两组数据引入好”做判断。

不过，如果新授部分是两组数据，练习环节也是两组数据，学生就会形成思维定式：当两组數据的个数不同，不能用总数进行比较时，可以用平均数来比较。但事实上，平均数是不以比较为前提存在的。所以建议如果在新授环节是用两组数据，那么在练习环节用一组数据，或者调换一下。这两种教学法是不矛盾的，相信对平均数意义的认识不会存在显著的差异。

顾志能老师认为：从“一组数据”问题情境去发现平均数，从本质上讲更能体现平均数的意义，更符合平均数特征。因为让学生从一组数据中寻找一个数作为这组数的代表，其学习过程就体现平均数代表一组数据的一般水平。对于人数不相等的两个队比赛，给出每一位队员的成绩，要比较哪一队成绩好。这样的问题情境，有为数不少的学生是这样想的：人数不相等，没法比，可以让女生去掉一个人，或男生加上一个人，使人数相等再比总数。在学生熟知的现实比赛中，都是人数相同的。也就是说，这样的情境缺乏真实性，而且学生不容易想到或直接想到用平均数来解决问题。用一组统计数据表示一位同学几次的成绩，然后以“找一个具有代表性的数据”为问题，引导学生发现平均数，理解意义并掌握求法。这样的素材可以直达教学目标，并且显得简单清晰，更有利于学生体会平均数与总体水平的关系。

俞正强老师认为：“一组数据”问题情境用来理解平均数的意义，“两组数据”问题情境用来体会平均数的功能。不分好坏，适得其用。

综上所述，采用“两组数据”问题情境和“一组数据”问题情境作为引入都是可以的。教学时，可视学生情况而选择。同时，要注意新授教学和巩固练习中，交替使用两种问题情境的题目，让学生在不同的问题情境中体会平均数的丰富内涵和深刻含义，提高运用平均数解决数学问题的灵活性。

（浙江省嘉兴市南湖区大桥镇中心小学   314000）