基于改进傅里叶变换的电子音乐信号降噪算法

赵晶晶 张晓娜

摘  要： 针对以往电子音乐信号降噪算法因未在降噪处理前分离无噪声电子音乐信号以及噪声信号，导致无法全面清除噪音，提出一种基于改进傅里叶变换的电子音乐信号降噪算法。该算法对电子音乐信号进行鲁棒主成分分析，将电子音乐信号转化为低秩矩阵以及稀疏大噪声矩阵之和，通过核范数优化方法优化以上矩阵之和，有效分离无噪声电子音乐信号以及噪声信号，利用改进傅里叶变换算法即小波变换算法进行电子音乐信号降噪处理时，通过经典阈值方法选取最优阈值，依据该阈值选取阈值滤波法进行电子音乐信号的小波系数处理，去除噪声信号的小波系数，通过小波逆变换滤波后的信号获取降噪后电子音乐信号。实验结果表明，该算法可以清晰地将电子音乐信号与噪声信号分离，并有效去除噪声信号，信号还原度高，且对10种电子音乐信号进行降噪能量损失量均低于2%。

关键词： 电子音乐; 信号降噪; 傅里叶变换; 矩阵优化; 阈值选取; 小波系数处理

中图分类号： TN911.7?34; TP391                   文献标识码： A                    文章编号： 1004?373X（2020）07?0043?05

An electronic music signal denoising algorithm based on improved Fourier transform

ZHAO Jingjing， ZHANG Xiaona

（Shijiazhuang University， Shijiazhuang 050035， China）

Abstract： The previous electronic music signal noise reduction algorithm failed to separate the non?noise electronic music signal and noise signal before noise reduction， so the noise could not be completely removed. A kind of electronic music signal noise reduction algorithm based on the improved Fourier transform is put forward. By this algorithm， the robust principal component analysis for the electronic music signals is carried out， and the electronic music signal is converted into the sum of low rank matrix and sparse big noise matrix. Then， the sum of above the matrixes， the effectively?separated electronic music signal and noise signal are optimized via the nuclear matrix norm optimization method to without noise. When the electronic music signal noise reduction processing is performed by using the improved Fourier transform algorithm， that is， wavelet transform algorithm， the optimal threshold is selected with the classical threshold method. According to this threshold value， the threshold value filtering method is selected for wavelet coefficient processing of the electronic music signal to remove the wavelet coefficients of the noise signal. The denoised electronic music signal is obtained by means of the signal after wavelet inverse transformation filtering. The experimental results show that this algorithm can clearly separate electronic music signal from noise signal， effectively remove noise signal （the denoised signal has high reduction degree）， and make the energy loss less than 2% while 10 kinds of electronic music signals are denoised.

Keywords： electronic music; signal denoising; Fourier transform; matrix optimization; threshold value selection; wavelet coefficient processing

0  引  言

电子音乐是指由电子乐器创造，利用电子音乐技术制作的音乐。电子音乐以其独特的音乐风格吸引了大批爱好音乐的人，随着电子音乐的普及，人们越来越重视电子音乐的质量，电子音乐信号降噪近年来得到学者以及专家的极度重视[1]。电子音乐信号降噪是保留具有价值的音乐信号，消除噪声对电子音乐信号的干扰。在远距离场景进行电子音乐录音时，噪声与音乐信号距离较远，因此电子音乐信号中存在大量高斯分布噪声;而近距离场景下进行电子音乐录音时，电子音乐信号中主要噪声为稀疏大噪声，稀疏大噪声呈现时间稀疏性，主要特点为不确定性，持续时间通常在3 s左右，且噪声强度与电子音乐强度几乎相同。对电子音乐信号降噪处理时，如何避免破坏无噪声电子音乐信号，是电子音乐降噪的重要部分。

目前应用于电子音乐信号降噪的算法主要为传统傅里叶变换算法，该算法利用噪声与电子音乐信号频率差异进行降噪，对于处理具有固定频率段的高斯噪声效果较好[2]。电子音乐信号中噪声主要为稀疏大噪声，通过该算法进行降噪效果并不明显，而小波变换算法是傅里叶变换的发展，是改进傅里叶变换的一种有效处理电子音乐信号中稀疏大噪声的降噪算法。本文提出一种基于改进傅里叶变换的电子音乐信号降噪算法，将改进傅里叶变换算法即小波变换算法应用于电子音乐降噪中，首先对电子音乐信号进行鲁棒主成分分析，通过分析检测电子音乐信号中具体噪声位置[3]，将电子音乐信号与噪声信号进行有效分离，再对经过鲁棒主成分分析后的电子音乐信号通过改进傅里叶变换算法进行有效降噪处理[4]。

1  电子音乐信号降噪算法

1.1  鲁棒主成分分析

主成分分析是一种用于分析非随机变量以及随机向量的方法，可有效应用于分析电子音乐信号中稀疏大噪声数据[5]。鲁棒主成分分析的主要过程为：将电子音乐信号转化为低秩矩阵以及稀疏大噪声矩阵之和，利用核范数优化方法获取以上矩阵和的解。通过鲁棒主成分分析可有效分离无噪声电子音乐信号以及噪声信号[6]。

通过主成分线性组合代替原变量的方法为鲁棒主成分分析法，设所录制电子音乐信号矩阵为[M=K+N]，其中，[K]为无噪声电子音乐信号矩阵，[N]为噪声矩阵。设矩阵[N]符合高斯分布，可得：

[minK，NNFs.t.    rankK≤r，    M=K+N] （1）

求解式（1），获取电子音乐信号矩阵最优解，其中矩阵[N]的Frobenius范数用[NF]表示。

电子音乐信号中含有的稀疏大噪声与无噪声音乐信号强度基本相同，因此将鲁棒主成分分析法应用于电子音乐降噪中，将录制电子音乐降噪问题转化为双目标优化问题，见式（2）：

[minK，NrankK，N0s.t.    M=K+N] （2）

将非负参数[λ]代入式（2）中获取无噪声电子音乐信号矩阵[K]，式（2）可转化为单目标优化问题，见式（3）：

[minK，NrankK+γN0s.t.    M=K+N] （3）

核范数[K]为[rankK]的凸包，[N1]为[N0]的包络，因此凸松弛式（3），可得：

[minK，NK?+λN1s.t.    M=K+N] （4）

通过优化式（4）可获取鲁棒成分分析问题的解，利用优化后鲁棒成分分析问题的解有效分离电子音乐信号中的稀疏大噪声以及无噪声电子音乐信号，通过改进傅里叶变换算法即小波变换算法对优化后的电子音乐信号进行降噪处理[7]。

1.2  小波变换算法

采用小波变换算法处理鲁棒主成分分析后的电子音乐信号矩阵。小波变换问题是通过傅里叶变换进行改进的有效降噪算法。

小波变换算法具体过程如下：

设[Ψt∈L2R]，其中，[L2R]的傅里叶变换为[ψω]，[L2R]表示音乐信号平方可积的实数空间。[ψω]符合[Cψ=Rψω2ωdω<∞]條件时，则[Ψt]表示母小波或者基本小波。伸缩以及平移母函数[Ψt]后可获取小波序列，小波序列在连续情况下公式如下：

[Ψa，bt=1aΨt-ba，    a，b∈R;a≠0] （5）

式中：[a]与[b]分别表示伸缩因子以及平移因子，小波序列在离散情况下公式如下：

[Ψj，kt=2-j/2Ψ2-jt-k，    j，k∈Z] （6）

连续小波变化公式如下：

[Wfa，b=f，Ψa，bt=a-1/2RftΨt-badt] （7）

式（7）的逆变换公式如下：

[ft=1CψR?R1a2Wfa，bΨt-badadb] （8）

式（8）中基本小波信号[Ψt]为解析信号时可能为复数信号。通过伸缩因子[a]伸缩基本小波，伸缩因子[a]与[Ψta]成正比。

经鲁棒主成分分析处理后的电子音乐信号矩阵，[M=K+N]经小波变换后公式如下：

[w=θ+η] （9）

式中：[w=WM];[θ=WK];[η=WN];[W（·）]表示小波变换。

通过小波基令所有电子音乐信号能量集中在变换域内少数小波系数中，通常噪声的小波系数值小于电子音乐信号的小波系数值，因此选择合适的小波基即可对电子音乐信号噪声进行有效去除，通过信号类别与特性选取最优小波基。本文选取阈值滤波法进行电子音乐信号的小波系数处理[8]，以阈值为标准保留或修正小波系数，可通过硬阈值滤波以及软阈值滤波两种方法处理电子音乐信号的小波系数。

硬阈值滤波：

[Th=fi，     fi>λ0，     else] （10）

在硬阈值滤波中，[fi]表示小波系数，将小波系数绝对值与阈值[λ]进行对比，对大于阈值[λ]以及小于阈值[λ]的小波系数分别进行保留以及归0处理[9]。

软阈值滤波：

[Th=sgnfifi-λ，    fi>λ0，     else] （11）

在軟阈值滤波中，将小波系数绝对值与阈值[λ]进行对比，对大于阈值[λ]以及小于阈值[λ]的小波系数分别进行压缩保留以及归0处理。

选取最优阈值以及阈值量化过程直接决定了电子音乐信号降噪质量[10]，利用经典阈值方法选取最优阈值公式如下：

[λ=σn2log2L]            （12）

式中[σn]与[L]分别表示加性噪声标准差以及小波系数总数量。

噪声信号的小波系数利用小波降噪的阈值滤波去除，通过小波逆变换滤波后信号获取降噪后电子音乐信号公式如下：

[fi=W-1TWfi] （13）

电子音乐信号降噪实质为在电子音乐信号[M=K+N]中，通过小波变换算法滤除[N]，使电子音乐信号转变为[M=K]。通过小波变换算法对经过鲁棒主成分分析的电子音乐信号进行降噪后，通过阈值处理信号小波分解系数，实现电子音乐信号重建，获取滤除噪声后的电子音乐信号。

2  仿真实验

为检测本文基于改进傅里叶变换的电子音乐信号降噪算法对电子音乐信号的降噪效果，采用本文算法对加入噪声的经典电子音乐Animals进行降噪，检测本文算法的降噪性能，并将本文算法与传统傅里叶变换算法以及时域算法进行对比。原始电子音乐Animals信号波形图如图1所示。

在原始电子音乐信号中加入不规则的说话噪声，噪声来源于开源数据库，加入噪声后电子音乐信号波形图如图2所示。

分别采用三种算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪处理。采用本文算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪处理后结果如图3所示。

通过图3可以看出，采用本文算法进行降噪处理的电子音乐信号与原电子音乐信号基本一致，说明本文算法可以清晰地将电子音乐信号与噪声信号分离，并有效去除噪声信号，具有较高的还原度，说明本文算法是一种有效的降噪算法。

采用传统傅里叶变换算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪处理后信号波形图如图4所示。

通过图4实验结果可以看出，采用传统傅里叶变换算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪，降噪效果并不明显，且部分原始电子音乐信号被误去除，说明传统傅里叶变换算法未能有效对加入噪声的电子音乐信号进行降噪。

采用时域算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪处理后波形图如图5所示。

通过图5实验结果可以看出，采用时域算法对加入噪声的电子音乐信号进行降噪，仅能去除少量噪声，并未有效将加入的噪声全部去除，说明时域算法对电子音乐信号降噪效果较差。

通过试听采用三种算法进行降噪处理的电子音乐，试听结果显示，采用本文算法降噪处理的电子音乐音质与原始电子音乐音质基本相同，而采用传统傅里叶变换算法以及时域算法进行降噪的电子音乐噪声明显，且部分原始电子音乐丢失。通过对比采用三种算法降噪后电子音乐信号波形图以及试听结果，可知本文算法不仅可有效去除电子音乐信号噪声，且可恢复原始电子音乐听觉效果。

为进一步检测本文算法的降噪性能，选取信噪比以及音频质量感知两种指标评价三种降噪算法的降噪性能。其中，信噪比作为评价降噪性能的标准被广泛应用于各种图像以及音乐的降噪性能检测中，电子音乐仅追求高信噪比容易导致听觉效果变差，因此，利用信噪比和音频质量感知两种评价指标综合评价三种算法对电子音乐信号的降噪效果。

信噪比是对电子音乐信号进行降噪处理后电子音乐信号与噪声的比值，单位为dB，信噪比比值结果越高表示电子音乐信号中噪声越少。

音频质量感知是通过人耳主观意识感知获取信号的掩蔽阈值以及失真阈值，通过人工神经网络方法将以上两个阈值相结合获取的综合评价参数。音频质量感知评价结果通常为负数，数值越大表示降噪后电子音乐信号与原始电子音乐信号差异越小，即降噪后电子音乐质量越好。

选取10种经典电子音乐，在10种电子音乐中分别加入喝彩声以及摩托车声两种噪声，采用三种算法分别对加入噪声的电子音乐信号进行降噪，降噪结果见表1，表2。

通过表1和表2采用三种算法对加入不同噪声的电子音乐信号降噪处理结果可以看出：采用本文算法对10种含有不同噪声的电子音乐信号进行降噪后，信噪比明显高于传统傅里叶变换算法以及时域算法，音频质量感知明显高于传统傅里叶变换算法以及时域算法，说明采用本文算法对电子音乐信号进行降噪，降噪后电子音乐信号中包含噪声最少，且降噪后电子音乐质量最高，验证了本文算法的降噪性能。

选取电子音乐信号能量损失量检测三种算法降噪后电子音乐信号的信息丢失情况，电子音乐信号能量损失量越小表示丢失信息越少。三种算法对10种加入摩托车噪声的电子音乐信号进行降噪后信号能量损失量如图6所示。

通过图6实验结果可以看出，采用本文算法对电子音乐信号进行降噪的信号能量损失量最低，10种电子音乐的信号能量损失量均在2%以下，而采用传统傅里叶变换算法以及时域算法对10种电子音乐进行降噪处理后的信号能量损失量明显高于采用本文算法进行降噪后的电子音乐信号，说明采用本文算法进行降噪后电子音乐信号信息丢失情况较低，再次验证了本文算法的降噪性能。

3  结  语

传统傅里叶变换算法无法有效对电子音乐信号中含有的稀疏大噪声进行降噪处理，本文采用改进傅里叶变换算法即小波变换算法对电子音乐信号进行降噪。先对原始电子音乐信号进行鲁棒主成分分析，有效分离电子音乐信号以及噪声信号，再利用小波变换算法对经过鲁棒主成分分析后的电子音乐信号进行降噪处理。为检测该算法的有效性，进行大量实验，实验结果表明，本文算法可有效对加入不同噪声的电子音乐信号进行降噪，且经过降噪处理后的电子音乐音质较好，验证了本文算法的降噪性能，说明本文算法可应用于实际录音后未经处理的电子音乐信号降噪中。

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