数学教学问题：角色演变、分类与设计*

华南师范大学数学科学学院(510631) 刘喆

广东深圳市宝安区海旺学校(518133) 王蕾

美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说：“问题是数学的心脏”.无论是波利亚(G.Polya)的解题理论、弗赖登塔尔(H.Freudenthal)的“数学化”“做数学”,还是80 年代以“问题解决”为旗帜的数学教育改革、21 世纪“关键能力”“核心素养”的风起云涌,以及提问教学、探究式学习、基于项目或问题的学习等教学模式的勃兴,都无不体现问题是数学的核心,为开展数学教学、实现课程目标提供可能.何谓问题?“在数学中,问题是那些要求做出解答的任何事物”和“问题……是让人感到费解或困难的东西”是两个极端的含义表述[1].对数学家构成问题的问题是那种“令人费解或困难”的问题,对于学生而言,问题不只是作为常规练习,用于标准技巧技能的学习,学生有必要在数学经历中迎接具有相当难度的问题,从而驱使其进入复杂性智力活动,调动高级思维技能,提高从数学角度发现、提出、分析和解决问题的能力.

鉴于问题的教育价值,目前数学学界聚焦问题的相关研究已经十分普遍,主要可以归纳为五类研究主题：数学问题解决, 数学问题提出, 数学问题表征和图式, 数学问题情境,数学问题设计.其中,前四类研究比较恒久、系统,而关于数学教学问题设计研究相对单薄.据此,本文将聚焦数学课堂教学设计,把从“要求做出解答的任何事物”到“让人费解或困难的东西”都定义为问题,进而探讨教学问题角色的演变,数学教学问题分类的理论依据,以及在此基础上生成的数学教学问题设计的技术方法.以期研究结果能为一线教师设计高质量数学教学问题,开发“淡化形式、注重实质”的教学设计提供参考.

1 数学教学设计中问题角色的演变

心理学为理解教与学提供基础,让我们更好地洞悉学生如何学习,教师应怎样组织课程内容和教学设计来提升学习.西方心理学派众多,与教学密切相关的学习理论主要有行为主义,认知主义及其派生的建构主义,它们对知识传递和获取方法给予不同解读.受三大主义影响和指导, 教学系统设计也经历三代更迭发展.不同代设计所采取的教学模式、方法及工具均有明显差异,而“问题”作为教学系统的不变量,其功能角色也发生一定演变.

20 世纪80 年代以前, 受行为主义学习理论指导, 教师的教居于数学教学系统设计支配地位, 并导致数学教育中片面强调“机械练习”(drill practice)[2].因此,教学设计中的问题更多是传统的数学题,具有接受性、封闭性和确定性等特征[3].这些问题所蕴含的知识内容是学生熟知的, 通过模仿和操作性练习,基本能够解决；问题结构是封闭的、良构的(well-structured problem),属于是何(what)、如何(how)类型,答案通常是确定的；问题功能集中于机械式巩固操练,有些变式训练也具有一定挑战性,但仍强调线性化问题解决,培养学生低层次思维技能.随着认知派学习理论的出场,学习就是形成“刺激-反应联结”的基本立场被打破,教和学的过程和结果被重新界定.在数学教学中,“刻板地减少问题的复杂性,使得学生们在某种程度上易于完成教师的‘数学’……形成只能对付那些简化了复杂性的问题的途径和策略”[4]的“舒适”局面被彻底打破.80 年代,建构主义逐渐流行,将注重以学生为中心、注重在实际情境中进行教学、注重协作学习、注重提供充分的资源作为教学的基本思路[5],并据此提出许多富有创见的教学设计模式.在这些模式中,问题内容侧重于开放的、劣构的(ill-structured problem)、为何(how)和若何(if)类型,从脱境化迈向情境化；问题解决强调能动地探究构建过程,从追求应答效率转向深度理解；问题设计关注个体认知差异,并力图培养学习者高层次思维技能.

不同学习理论影响教学系统设计路径,使得教学问题的内容组织与呈现,教学与获取方式,以及达成的学习效果都不尽相同,正因如此,也为教师教学提供更多选择和设计空间.

2 数学教学问题分类的理论依据

著名教学设计专家乔纳森(D.H.Jonassen)认为“假设解决不同类型的问题需要不同的技能”是将问题进行分类的主要理由,也致使产生不同形式的教学设计,以支持学习者学会解决不同类型的问题.

2.1 乔纳森的问题分类法

乔纳森指出问题具有五大外部特征：结构、情境、复杂性、动态性和领域特殊性,他从结构的连贯性角度,将问题看作一个“良构-劣构”连续统,划分出11 种问题类型(如表1所示),并给出完整解释[6].

表1 良构-劣构问题分类表

良构问题具有一个定义完善的初始状态(已知)、一个已知的目标状态(定义完善的解决方案特性)以及一系列固定的逻辑运算(已知的解决程序)[7],所需知识多为陈述性知识；而劣构问题存在更多的不可知性或不确定性,更倾向于情境化,着眼于问题解决方案的探寻、讨论和阐释,它们往往因任务环境及相关因素发生变化而比良构问题更具动态性,而且受问题所需的知识和技能、加工方式以及跨领域、跨学科解决方案的影响,通常更加复杂.劣构问题需要以良构问题学习为基础和前提,比如,规则应用问题需要问题解决者具备逻辑推理能力和算理算法知识以及解决情节问题的经验.当然,如乔纳森所说,这种问题分类观并不是绝对的、不变的理论,在一定情境中,也存在高度复杂性良构问题或简单性劣构问题；情节问题可能是相当情境化的,两难问题又或许是抽象概括化的.

2.2 4MAT 设计模式的问题分类

基于对学习风格的研究, 麦卡锡(B. McCarthy) 提出4MAT 教学设计系统,认为不同学习风格的学习者存在不同问题偏好[8]：想象型学习者偏好“为什么(why)类问题”, 喜欢具体形象内容, 关注自我体验；分析型学习者擅长“是什么(what)类问题”,善于分析和逻辑推理；常识型学习者重视“怎么样(how)类问题”,喜欢抽象和应用；活力型学习者偏爱“假如…将会…(if)类问题”,相信直觉,擅长创新.

针对4MAT 模式的问题分类, 祝智庭将“由何(from)”概念引入到问题归类中,形成“五何”分类法[9]：“是何”表示事实性内容的问题,涉及事实性知识的再现与获取；“为何”指向表示理由、原理法则、定理和逻辑推理的问题,侧重原理性知识的应用和发展；“如何”指向表示方法、步骤、程序的问题,关注策略性知识的获取；“若何”指向表示条件变化,可能产生新结论的问题,能够帮助学习者获得创造性的知识；“由何”问题强调对各种情境要素的追溯与呈现,往往与其他问题融合设计.

2.3 布鲁姆认知水平分类法

布鲁姆将学生的认知过程全面地分为六个认知类别,并为每一类认知过程提供相应的测评题型[10].根据布鲁姆的认知水平分类法,可以将问题分为六类：(1)记忆类问题,涉及长时记忆中知识的提取,但是回忆和识别并不一定意味机械学习,当回忆知识融入更大的问题情境中就会产生有意义学习；(2)理解类问题,强调新知识与已有认知结构的整合,单凭记忆是无法得到正确答案,解决此类问题的认知过程包括解释、举例、分类、推断、比较和说明等多种形式；(3)应用类问题,涉及学生熟悉或不熟悉的两种任务类型,对于前者要求能够程式化地执行技能或算法,后者需要学生辨认问题所需程序或对程序加以改进,采用合适技术和方法获取问题解答；(4)分析类问题,考核区别、组织和归因三个认知水平,即能够将有关和无关信息区分,建立信息之间的内在联系,并对信息进行解构重组；(5)评价类问题,关涉对自己认知过程的监控和协调,以及对自己或他人的成果或假设的评论；(6)创造类问题,涉及独特的或原创的产品构建,创造过程包括问题表征、方案设计和方案执行三个阶段.

在学科教学设计中,上述问题分类理论可以为问题内容设计和编列提供理论框架.“良构—劣构”问题连续体对整体上把握问题编排指向有所启示；“五何”问题关注不同性质的知识学习,对问题内容设计有很好的指导意义；认知目标分类学视域下的问题分类法强调问题解决所对应的认知过程和认知水平,尽管某些认知任务需要协同几类知识和几种认知过程,但这种分类方法对从教学目标达成的角度来设计问题,仍有很好的借鉴作用.

3 数学教学问题设计方法及其应用

数学教学问题设计能为学习者预先构造知识框架,促使学习者高级数学思维发展.由于问题种类不同,呈现形式和解决方式有所区别,使用的教学方法以及学习评价也不尽相同.因此,必须将问题组织置于教学设计的大背景中去拷量,构建出合理的问题设计方法.

3.1 确定教学目标

教学目标是数学课堂教学的出发点和归宿点,是数学教学设计的核心任务之一,它确定了教什么、达到什么程度,要求与学情、内容等相统一,也是问题设计的重要依据.面向问题设计的目标分析主要从三个方面开展,首先开展课程标准分析,课程标准明确规定了课程目标和内容标准,是教学目标设计的首要依据和引领方向.其次,进行教材分析,全面把握教学内容在数学知识体系中的地位、相应教材内容的编排特点以及例题和习题的编列,以便进一步细化课程标准对教学内容的目标要求.第三,确定目标维度及目标内容,明确教材内容属性,归属相应维度,并运用合适结果目标或过程目标行为动词合理表述教学目标.

3.2 组织教学内容

组织教学内容是指依照教学目标,重新整合相应教材内容,转化成层次分明、结构完备的教学内容系统.首先,提取教材知识点,按照数学概念、原理、基本的数学事实结论对知识点分类,确立哪些知识点属于言语信息、认知技能抑或动作技能要求范畴.其次,为教材内容赋能,即需要思考,除知识与技能维度目标外,知识点及其对应的例题和习题等在实现过程与方法、情感态度与价值观目标维度上能够发挥何等功用.然后,教材内容教学化,在明确知识点属性以及教材内容与教学目标的适配性后,要考虑教学内容的完整性,比如数学概念教学应该包括哪些内容才是完整的?仅仅记住数学概念名称就可以了吗?显然, 数学概念教学应包括名称、定义、属性(内涵)和例子(外延)四部分内容.只有理解教材内容的教学特性,并将其转化成学生易于接受的形态,才能真正实现教学目标.

3.3 教学内容问题化

将教材内容组织转化成教学内容后,教学内容需要以数学问题和数学活动为载体加以传递,促进教学向着预设的主线发展.除教材中已有的例题和习题,还需要进一步将教学内容中的显性和隐性知识问题化,并将设计结果填入表2,以确保“目标-内容-问题”之间的相关性.问题设计策略具体包括,一是在知识本质处设计问题,帮助学生理解知识本源和实质,突破教学重点；二是在知识点关联处设计问题,有助于学生对教学内容进行辨析和整体把握；三是在知识迁移处设计问题,有助于学生将知识应用到不同的情境之中,以巩固知识和发展思维；四是在学困处设计问题,如对迷思概念、学习难点加以问题建造,促进学生纠错和反思；五是提出整体性问题,对教学内容加以高度概括统整,使学生形成完整知识结构.

表2 教学目标、内容与问题设计模板

3.4 教学问题系统化

教学问题系统化是指数学课堂教学中的所有问题必须按照一定的秩序和内部联系组成问题集,并且学习者在解决问题后,能够获得高级思维技能的发展.具体程序包括,第一,明确知识焦点,划分问题模块.将上一步设计好的问题进行归类,面向同一个知识点的问题归为一类,每个类别所围绕的中心就是知识焦点,而此类别就称为问题模块.知识焦点可以用所对应的教学目标来概括, 也可以转化为一个问题.第二,确定核心问题.核心问题发挥统领全局的作用,可以延伸出整节课知识内容,一般为情境创设所用的问题,其可以来源于生活实际、学科领域或跨学科领域.第三,将问题进行排序.从核心问题出发,分析问题模块间的关系,排列问题的顺序.教师可以不断反思“为解决这一问题,学习者必须具备哪些知识?掌握什么技能?”直到推演出学习者已具备的知能为止.第四,问题质量修正与提升.经历上述三步,教学问题具有较好的层次性和完整性,此时需要利用问题的分类理论,检验问题设计的完备性.完备的问题集通常表现为教学问题的结构从“良构”迈向“劣构”,问题类型涉及“五何”,内隐的认知水平从“记忆”走向“创造”.因此,将问题的结构、类型与学习者认知水平结合起来,形成问题设计检验模板(如表3),把表1 中的问题归类填入其中.如果要培养学习者高级思维技能,就必须调整问题类型,使得劣构问题占有一定比例.

3.5 教学问题情境化

在教学问题系统化环节中设计的核心问题要能够引发本节课所需学习的关键知识,此外,还要能够为学习者营造情境,作为学习的起点.建构主义强调,置于真实情境中的问题具备让学习者积极参与和构建知识的可能性,为发展学习者问题解决能力提供潜在支持.因而,在必要情况下,核心问题是需要情境化的,也就是设计“由何”问题.具体途径包括：根据教学需求,从现实生活中选取素材,从数学史和数学文化中选取素材,从例题、习题、考题和竞赛题中选取素材,从跨学科领域中选取素材,从民族文化中选取素材,组织问题内容,使得问题设计具有包含丰富学科知识、与实际密切相关或者蕴含多元文化力量等情境特征.

表3 问题设计检验模板

4 结语

问题是数学学习的起点,问题解决是最重要的数学思维活动,问题设计是数学教学设计的核心要义.在数学教学中,从去情境的纯数学问题到情境化问题、从教师启导性发问到学生生成性疑问,都需要精心设计,以类型多样、品质优良的有效教学问题集来推动整个教学进程,促进学习者深度学习,获得数学核心素养发展.本文针对一般化数学教学设计,通过梳理教学问题在行为主义至建构主义学习理论影响下的角色演变历程,以及乔纳森面向问题解决的教学设计理论、麦卡锡4MAT 教学设计系统和布鲁姆教育目标分类学视域下学与教理论的教学问题分类理论,构建起数学教学问题设计方法.问题设计应遵循教学设计的基本规范,以前端分析为起点,在教学目标和教材内容分析的基础上将“数学知识问题化,核心问题情景化”,并通过教学问题分类理论指导修正.

事实上,教学问题有预设和生成两个来源,本研究的问题设计方法主要是针对预设问题而言的.良好的预设性问题能够引发学习者积极思维、产生灵感、提出问题,也能够促进师生深度交互,从而产生动态、即时的生成性问题,而生成性问题将会转化为新的预设性问题,纳入下一轮问题系统设计当中.该系统设计方法能够提高教学问题集质量,但是并非所有预设问题都能够支持有效教学,需要通过教学检验加以保留或舍弃.

固然,理想化的“良构-劣构”问题连续体既能够容括五何类问题,又能够促进学习者高层次认知水平发展,但实际上问题设计是由教学内容的知识属性和教学目标决定的,比如记忆和理解认知过程有助于促进学习的保持,而若教学目的是为了促进迁移,则需要安排与理解、应用、分析和创造相关的认知活动,所以能够设计处于中间过渡地带的结构适中的适构问题(moderately structured)也是至关重要的.