张文杰,杨荣领
(1. 华南理工大学 数学学院,广东 广州 510641;2. 华南理工大学 广州学院,广东 广州 510800)
拓扑压作为拓扑熵的延伸,于1973年由Ruelle[1]首次提出,后又由Walters[2]进一步将其推广到紧致度量空间上,并对连续映射的拓扑压进行研究,其反映动力系统的复杂程度,是分形几何与动力系统方向非常重要的研究内容。随着研究问题的深入,传统拓扑熵与拓扑压的研究被打破,越来越多新的研究出现。例如,1984年,Pesin[3]利用Carathéodory 结构研究了非紧致子集的拓扑压和变分原理,1996年,L.Barreira[4]在Pesin[3]研究基础上给出了紧致度量空间中任意子集的任意函数系列的拓扑压,胡超杰,马东魁[5]对一些紧致系统的拓扑序列熵和广义specification性质进行了研究。Biś[6]和Bufetov[7]分别给出了紧致度量空间上有限个连续映射构成的半群的拓扑熵的定义,在此基础上, Ma等[8]和Lin等[9]分别推广了紧致度量空间上有限个连续映射构成的自由半群的拓扑压. 另一方面, Patra~o[10]给出了度量空间中一个映射的拓扑 d-熵及真映射拓扑熵的概念。在这些基础上,结合Lin[9]给出的紧致度量空间下自由半群的拓扑压的定义推广得到Bufetov[7]意义下真映射生成自由半群的拓扑压,本文给出了按照Biś[6]意义下有限个真映射构成半群的拓扑压的概念并且进一步得出这两种拓扑压之间的关系,最后证明局部紧致可分度量空间有限个真映射构成的半群的拓扑压和它的一点紧化空间上的拓扑压对应相等。
下面利用定理1给出局部紧致可分度量空间上由真映射生成的半群的拓扑压的性质。
两边同时取log,除以n及取上极限可得
令ε →0,有
证毕。