基于非线性振动研究低音现象

2020-06-11 07:18刘鸿业王晓杰李文华陈宗强

物理实验 2020年5期

关键词：音叉基频外力

刘鸿业，王晓杰，李文华，陈宗强

(南开大学物理科学学院，天津 300071)

低音现象为第32届IYPT的第3题[1]：让音叉或简易的振子对着纸振动，两者有轻微接触，产生声音的频率比原来的频率更低. 本文采用音叉与纸张系统发生非线性振动的观点，通过建立模型，预测产生低音的频率条件，并通过实验验证.

1 理论分析

1.1 纸张受力分析

图1为题中所述的音叉与纸张系统示意图. 在本系统中，以纸张为参考对象，纸张与音叉之间的空气层提供作用力. 在振动过程中，考虑到音叉的振动频率很高而且振幅较小，可以认为空气经历了绝热压缩的过程，空气层的压强p满足：

p[(L+Δz)S]α=p0(LS)α，

(1)

其中，L为音叉静止时纸张与音叉之间空气层的厚度，Δz为音叉振动的微小位移，S为纸张与音叉的正对面积，α=1.4为空气绝热系数，p0为大气压强. 因此，空气层提供的作用力为

F=(p-p0)S=

(2)

图1 音叉与纸张系统

1.2 模型建立

1.2.1 非线性振动理论

由式(2)可以看出，空气层提供的作用力为非线性驱动力，当在系统的受迫振动中加入非简谐项时，在共振现象中会出现新的特性. 一般物体的受迫非线性振动方程为[2]

(3)

在微扰理论中，通常会假设如下关系[2]：

x=x(1)+x(2)+x(3)+…,
ω′=ω+ω(1)+ω(2)+ω(3)+…,

(4)

其中x(k+1)≪x(k),ω(k+1)≪ω(k).

这样导致得出的共振频率与普通的弹簧振子的共振频率不同[3].

由上述讨论，确定各力的作用来源：以纸张为振动对象，空气提供非线性力，音叉提供驱动力.

为了简化问题的计算，取式(3)中非线性恢复力的前两阶，得到：

(5)

其中，αx2+βx3为空气提供的非线性恢复力.

当外力频率满足：γ=2ω+ε(其中，ω为共振频率，ε为一小量)时，在一阶近似中有：

(6)

对于二阶近似解，保留共振项，有

α[x(2)]2+β[x(2)]3=0,

(7)

利用余弦函数积化和的形式，可以求出解为

(8)

由式(8)可以看出，纸张的振动频率中有1/2外力频率项，即低音现象.

当外力频率γ=3ω+ε时，在一阶近似解中有

(9)

对于二阶近似解，由余弦函数倍角公式解得：

(10)

可得纸张振动的频率可以为外力频率的1/3.

进一步，当外力频率满足γ=pω+ε时，其中p为倍频关系的比例系数且为正整数，产生低音的频率f′为外力频率γ的1/p，即

(11)

1.2.2 关于低音频的进一步预测

考虑到音叉的本质为棒振动，对于棒振动来说，在1次振动后，波传递到边界并被反射，形成第2次振动. 振动再次被边界反射，形成第3次振动……并一直持续下去. 对于第q次振动，其振动频率满足：

(12)

其中，l为棒的长度，c为棒的纵向振动传播速度. (12)式表示“驻波”形式的振动过程，q=1时为基波，q>1为q次谐波.

音叉在振动时由于存在高次谐波振动，会产生泛音，即会产生满足基频整数倍的高音频[4]. 通常，泛音频率fq满足[5-6]：

fq=qf1,

(13)

其中，f1为音叉自由振动时的基频. 根据式(11)和(13)，当驱动纸张振动的外力为音叉高阶的振动时，即γ=fq时，纸张产生的低音的频率满足：

(14)

其中，p和q为正整数并且满足p>q.

随着近似阶数的增加，纸张的振幅迅速减小，以至于观察到只有p和q值都较小的情况[2].

2 实验验证

2.1 实验仪器

实验装置如图2所示. 音叉垂直固定，5个音叉频率分别为128，256，440，512，1 024 Hz. 纸张为A4纸裁剪而成，尺寸为7.0 cm×15.0 cm. 录音设备为录音笔，采样范围为20～50 000 Hz.

图2 实验装置

2.2 实验结果与分析

首先测量无纸张接触时音叉的振动频率作为空白对照，然后让纸轻微接触音叉，测量有低音时的频率. 最后利用空白对照来进行降噪处理，使用Matlab进行快速傅里叶变换处理采集到的数据[7]. 低音现象是持续的过程[8]，利用快速傅里叶变换导出声强-频率图只能导出特定采样频率时的分布图. 因此只能展示出某时刻的频率分布，这样就不能观察到全部的低音峰[9].

以512 Hz的音叉的低音峰为例，结果如图3所示. 纸张未与音叉接触时，采集到声音为音叉自由振动的基频，如图3(a)所示，中心频率f1约为512 Hz. 当纸张与音叉轻微接触后，除音叉基频外，还出现低音振动峰，如图3(b)所示，其中心频率为f′≈256 Hz,为基频的1/2，即半频低音.