试论引导学生建立完整的数的知识框架

秦舒纬

摘 要：数学学习离不开数字，数字是数学学习的基础，也是数学学习的根本所在。同一个数字，出现在不同的情境中蕴含的意义不尽相同，只有理解区分好题目中每一个数字所蕴含的意义，才能准确分析出数量关系，更好地解决问题，为学生的数学学习打下坚实的基础。文章结合教学实践，对引导学生建立完整的数的知识框架进行论述。

关键词：小学数学;完整;知识框架;数形结合;构建模型

中图分类号：G623.5 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2020）14-0084-02

从自然数到小数再到分数，在教学过程中我们发现低年级的学生对整数的认识并不存在多大的困难，而到了中高年级涉及分数的意义时，相当一部分学生发生混淆。如何帮助学生在脑海中建立完整的数字模型，对不同类型的数的含义进行分析，建立完整的数的知识框架，值得数学教师认真思考。

一、百分数教学中的“易”与“难”

1.教材对百分数的教学安排

在苏教版教材中，“百分数”的教学被安排在六年级上册第六单元，这是小学阶段数字的最后一种呈现形式。从教材教学内容的安排上看，主要分为百分数的意义及读写、与小数分数之间的转化，以及相关的实际问题。本文不对实际问题进行讨论，主要探究对百分数的认识及理解。

2.百分数教学中的“易”

之所以说“百分数”教学易，是因为学生对百分数的认识绝不仅仅局限于课本上的内容，对百分数的内容接触也绝不仅仅开始于六年级上学期，生活中或多或少地已经接触过百分数。例如，布料所包含的各种成分，升学率、成活率，等等。在课堂教学中，教师需要做的就是给出一个明确的百分数的定义，即“表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数”，并帮助学生进行理解。该定义明确了百分数只表示关系，不表示数量，不带有单位名称。如：可以说1米是5米的20%，不可以说一段绳子长20%米。

3.百分数教学中的“难”

“百分数”教学的难从表面上看是难于计算，如25%×4%有相当一部分学生的计算结果是100%，而涉及百分数的除法，学生计算起来更困难，经常出现不是把结果扩大就是缩小的现象。以上现象的出现，表面上看是计算问题，实则是学生对百分数的实质没有理解。

4.准确理解百分数

要理解百分数，就要理解它的两层含义：一是表示两种量之间的关系，或是部分与整体之间的占比关系。二是当百分数单独出现时，则具备数值属性，这也是教师在教学过程中需要进行拓展的内容。要理解百分数的两种属性，教师就要引导学生对分数、小数、整数的意义有一个准确的理解，对小学阶段所学的数字进行完整的模型建构。

二、自然数、小数、分数知识框架的构建

1.自然数的认识

自然数源于两种理论体系：基数理论与序数理论。这两种理论分别对应自然数的两种不同意义与作用：一是自然数表示一些具体事物的个数;二是自然数表示一个顺序，如第一个、第二个、第三个……例如，在认识“=”“>”“<”这节课中，认识4=4时，例题将4只小兔与4只小猴一一对应;认识5>3、3<5时，将5只松鼠和3只小熊一一对应，从而发现数字之间的大小关系。那么，为什么要将动物的只数对应后再进行比较呢？很多教师都会忽视这一问题。史宁中教授认为：数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。数量关系的本质是“多少”，比较数量的方法是“对应”。

2.小数的认识

苏教版小学数学教材将“分数的初步认识”安排在三年级上册，而“小数的初步认识”被安排在三年级下册。笔者先讨论小数，是从学生的认识基础考虑，小数更易于学生理解。例如5÷2的计算结果，学生仍然习惯于用小数表示，而不是分数。小数，在绝大部分的情况下它只表示某些物体的具体的量，一般不具有序数的功能。但小数拓展了数的运用范围。在教学过程中，教师可借助数轴来帮助学生理解（图略）：0、1、2、3……这些自然数在认识小数之前，在数轴上只是一个个离散的点。小数可以和数轴上的任意点建立一一对应关系，让学生感受到可以无限地细分这些小数，有助于学生更好地认识事物，培养学生数形结合意识。

3.分数的认识

学生认识分数可以从分数所表达的关系入手，如把一个苹果平均分给4个人，每人分得苹果的1/4。在这里，分数指向部分与整体之间的比，当然也可以是两个部分之间的比，如男生人数占女生人数的几分之几。分数还可以是一个数，如两个数相除，当商是一个无限小数，而又需要用一个精确值表示时，就可以用分数表示。分数还可以表示数量。很多情况下即便商的计算结果复杂，但学生仍然喜欢计算出一个数值，而很少用分数表示。例如，在完成“把4米长的绳子平均分成5段，每段长几分之几米，占全长的几分之几，是一米的几分之几”这道题时，学生的错误率一直居高不下。之所以会出现这种现象，是因为学生受先入为主的概念影响。学生一开始认识分数时，理解分数表示的是两个量之间的占比关系，而对于分数可以表示具體数量认识不足。要解决这样的问题，教师可以引导学生先从等分和商的角度认识分数。例如，一个蛋糕平均分给2个人，每人可以分得多少块？如果平均分给4个人，每人可以分得多少块？在这个情境中引出分数，通过人数的变化，能让学生感受到随着人数的增加每人分得的蛋糕数量在逐渐减少，从而认识到等分的结果可以用分数表示，进而建立起除法与分数之间的联系。

三、融会贯通，构建模型，解决问题

构建模型是数学学习的有效途径，能够提升学生分析问题和解决问题的能力。数学来源于生活，将生活实际问题转化成数学问题并加以解决是数学模型的建构与求解过程。例如，一根钢筋长7.2米，已经用去了全长的2/9，再用去多少米，正好剩下全长的一半？题目中一共出现了三个数据：7.2米表示钢筋的具体长度，2/9表示已经用去的部分占全长的2/9，一半表示全长的1/2。要想正确地解决这个问题，除了要理解再用去的米数=全长的一半-用去的米数外，还必须准确地理解这三个数据的具体含义，尤其是2/9。可以说，理解数据的含义是解决问题的基础。

总之，数学学习离不开数字，数字是数学学习的基础，也是数学学习的根本所在。同一个数字，出现在不同的情境中所蕴含的意义不尽相同。在数学教学中，教师要引导学生理解区分好题目中每一个数字所蕴含的意义，准确分析出数量关系，提升学生分析问题和解决问题的能力，为学生的数学学习打下坚实的基础。

参考文献：

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