利用数学工具 抓住概念本质

张吉

【摘 要】因为单位圆兼有数和形双重特性，所以可以把单元圆作为研究三角函数的工具。笔者通过利用单位圆研究三角函数的概念、性质、三角恒等变换公式等，说明单位圆是研究三角函数的工具，能体现三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。

【关键词】数学工具;概念本质;单位圆

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0154-02

单位圆是一个非常好的对称图形，人们能从单位圆上找到对称点、对称线段、对称角等。三角函数是以角（实数）为自变量的函数，而单位圆是利用数形结合的思想解决有关三角函数问题的重要工具。

1   利用单位圆研究三角函数的概念

1.1  定义任意角的三角函数

利用单位圆定义三角函数，有利于学生理解三角函数的本质，即任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应过程[1]。

任意给定一个角α，其终边与单位圆就有唯一的一个交点，交点的横坐标就是角α的余弦值，纵坐标就是角α的正弦值，这给学生理解三角函数的对应关系提供了极大的便利。设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 y 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x;叫做α的正切，记作tanα，即。这样，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，能为后续三角函数的学习提供思路和工具。

1.2  研究同角三角函数关系

同角三角函数关系反映的是同一个角的三角函数值之间的关系，它的研究基础是三角函数的定义，研究工具是单位圆，是利用单位圆揭示正弦、余弦、正切之间的关系。设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），过点P作PM⊥Ox，交x轴于点M，则MP叫角α的正弦线，OM叫角α的余弦线。结合图形可以看出，MP、OM和半径OP三者构成直角三角形，且，由勾股定理有，因此x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1。当角α的终边与x轴重合时，点P的坐标为（x，0），此时，y=0，所以x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1成立，此时。当角α的终边与y轴重合时，点P的坐标为（0，y），此时，x=0，所以x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1成立，此时tanα不存在。所以当角α的终边与坐标轴重合时，同角三角函数基本关系式也成立。

1.3  推导诱导公式

诱导公式反映的是两个角的终边满足某种对称关系时，它们的三角函数值之间的关系，推导诱导公式的关键是角的终边的对称性。单位圆能很好地反映角的终边的对称性，借助单位圆推导诱导公式既简单，又方便。

要推导关于α，π+α，π-α，-α，的诱导公式，需要先理清π+α，π-α，-α，终边分别与角α终边的对称关系，再根据三角函数定义得出它们的值之间的关系。这样既能很好地反映诱导公式的本质，又能使它们成为一个有机整体[2]。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）。根据角的概念，作出π+α，它的终边与单位圆交于点Q（-x，-y），可以发现角α与角π+α的终边关于原点对称，且sinα=y，sin（π+α）=-y，所以sin（π+α）=-sinα，同理cos（π+α）=-cosα，进而有

同理，可以发现角α与角π-α的终边关于 y 对称，角α与角-α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义及同角三角函数基本关系式可以很方便地推出π-α，-α这两组诱导公式;可发现角α与角的终边关于直线y=x对称，根据三角函数的定义，可得到角这组诱导公式。

2   利用单位圆研究三角函数的性质

利用单位圆可以研究正弦函数f （x）=sin x与余弦函数f （x）=cos x的周期性、奇偶性、单调性、值域、最值等性质。以正弦函数与余弦函数的单调性为例进行说明。

利用单位圆中的三角函数线，通过数形结合的方法，可以分四个象限分别研究正弦函数与余弦函数的单调性。

设角x是（0，2π）内的任意一个角，它的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥Ox，交x轴于点M，则MP为角x的正弦线，OM为角 x 的余弦线。

当点P绕坐标原点逆时针旋转时，角x由0逐渐增大为，正弦线MP逐渐变长，余弦线OM逐渐变短，且正余弦均为正值，所以在上，正弦函数f （x）=sin x为增函数，余弦函数f （x）=cos x为减函数。

当点P绕坐标原点逆时针旋转时，角x由逐渐减小为π，正弦线MP逐渐变短，余弦线OM逐渐变长，且正弦为正值，余弦为负值，所以在上，正弦函数f （x）=sin x为减函数，余弦函数f （x）=cos x也为减函数。

当点P绕坐标原点逆时针旋转时，角x由π逐渐增大为，正弦线MP逐渐变长，余弦线OM逐渐变短，且正余弦均为负值，所以在上，正弦函数f （x）=sin x减函数，余弦函数f （x）=cos x为增函数。

当点P绕坐标原点逆时针旋转时，角x由逐渐减小为2π，正弦线MP逐渐变短，余弦线OM逐渐变长，且正弦均为负值，余弦为正值，所以在上，正弦函数f （x）=sin x与余弦函数f （x）=cos x都为增函数。

同理，借助单元圆，可以研究三角函数的周期性、奇偶性、值域、最值等性质。

3   利用单位圆与平面向量推导三角公式

在三角恒等变换中，两角差的余弦公式的推导具有重要意义，其他公式的推导都可以利用这个公式。在这个公式的推导过程中，需要寻找角的余弦值与角、的三角函数值之间的关系，需要理解角的运算。余弦函数的概念与性质，可借助单位圆进行推导。

在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则，，由向量数量积的坐标表示，有·=·

=+。设与

的夹角为，则·=·=

+，则;所以

，也有+。有了两角差的余弦公式做基础，结合诱导公式及同角三角函数基本关系式，可推导出、、、、、等的公式。

总之，三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数性质、两角差的余弦都可以借助单位圆推导，以让学生更好学习与掌握，体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，进一步体悟单位圆是研究三角函数的工具，掌握三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。

【参考文献】

[1]张波，苑智莉，王保东.“诱导公式”单元—课时教学设计与点评[J].中国数学教育：高中版，2020（7）.

[2]楊彬.三角函数概念教学[J].中学数学，2020（7）.