我为高考设计题目(4)

题1 把四个面都是直角三角形的四面体叫做鳖臑.

若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是p1;若从鳖臑的六条棱和四个面中任取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是p2;若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是p3.可得p1，p2，p3的值分别是（）.

A.13，16，12B.13，12，16C.16，12，13D.13，1，12

图1

解 A.可以证明：鳖臑就是从一个Rt△BCD（可不妨设∠BCD=90°）的锐角顶点（可不妨设为点B）处作平面BCD的垂线段BA而后得到的四面体ABCD（如图1所示，可把鳖臑ABCD放置在长方体中），因而我们可在如图1所示的鳖臑ABCD中来求解.

（1）可得鳖臑ABCD的六条棱中任取两条有C26=15种取法，其中互相垂直的情形有5种：AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD.

所以所求概率是515=13.

（2）从鳖臑ABCD的六条棱和四个面中任取一条棱和一个面（要求棱不在面上），有3·4=12种，其中它们互相垂直的情形有2种：AB⊥平面BCD，DC⊥平面ABC.

所以所求概率是212=16.

（3）从鳖臑ABCD的四个面中任取两个面有C24=6种取法，其中互相垂直的情形有3种：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD，平面ABD⊥平面BCD.

所以所求概率是36=12.

考查目标 （1）对文字（新定义）的阅读理解及等价转化;（2）对立体几何图形中“垂直”的理解及其应用：包括直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定及性质;（3）用枚举法求古典概型.

设计思路 2015年高考湖北卷理科第19题及文科第20题均是涉及“鳖臑”的数学文化高考题;普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第69页的例3，第69页的“探究”， 第73页的第3题也均涉及“鳖臑”.

鳖臑是一种特殊的四面体，值得深入研究，因而编拟了本题.

甘志国编著《2019年高考数学真题研究》（哈尔滨工业大学出版社，2020）中收录的文章《鳖臑的形状》中证明了结论：鳖臑就是从一个Rt△BCD（可不妨设∠BCD=90°）的锐角顶点（可不妨设为点B）处作平面BCD的垂线段BA而后得到的四面体ABCD，鳖臑也是恰好是在两个顶点处的三个角中均恰有两个角是直角的四面体.

难度估计 0.66.

题2 已知多项式p（x）=x3-3x+1有三个零点a，b，c（a

A.是aB.是bC.是cD.不是b且不是c

假设p（x）的三个实根中有两个是互为相反数（设为s，-s），可得

考查目标 （1）考查连续函数根的存在定理（也叫堪根定理）的应用;（2）集合元素的互异性及其在解题中的应用;（3）逻辑推理特别是反证法在解题中的应用.

设计思路 笔者曾经研究过多项式p（x）=x3-3x+1的零点问题，并且得到了其三个零点从小到大依次是-2cos20°，2sin10°，2cos40°.但该结论对于广大高中师生都很陌生，笔者深入研究此结论后，编拟了这道漂亮的选择题.

难度估计 0.48.

解 A.可得题设f′（x）<2f（x）即f′（x）-2f（x）<0.联想到求导运算法则uv′=u′v-uv′v2，可构造待定的函数g（x）=f（x）eax（其中a是待定的常数）.

可得g′（x）=f′（x）-af（x）eax，与题设“f′（x）-2f（x）<0”相对照知，可选a=2.

进而可得g（x）=f（x）e2x，g′（x）=f′（x）-2f（x）e2x<0，g（x）是减函数.

由ln32gln52，即5fln32>3fln52.

考查目标 （1）构造函数解决抽象函数问题;（2）用导数解决函数的单调性，再解决相应的抽象函数问题.

设计思路 用导数解决抽象函数问题难度较大，解答的关键是构造出合理的函数.本题由此作为出发点编拟而成.

难度估计 0.49.

题4 华夏人寿保险股份有限公司推出了一种“华夏富贵竹年金保险（3年期）”的保险产品：购买者须在三年的同一时间段各买一笔保险a（a≥1，10a∈N*）萬元（共购买3次，每次a万元），从第一次购买后可续存b（0.01b∈N*）元，且续存的这些钱将从次日起按每天0.11 ‰的利率复利计息，续存款的本息可随时取出（到自己的银行账户）.G先生于2017年3月1日买了1.5万元“华夏富贵竹年金保险（3年期）”，接着又于2017年4月1日续存了2.22万元，等到2018年4月1日（到了这一天，存期是1年即365天）G先生的这笔续存款产生的本息和是（答案中的幂不必计算）.

解 2.22×1.00011365万元.由复利计算本息和公式，可得所求答案是

2.22×（1+0.11‰）365=2.22×1.00011365（万元）.

考查目标 对文字的阅读理解并转化成相应的数学模型（本题的模型是指数函数中的复利计算本息和公式）.

设计思路 本题是由真实生活中遇到的问题编拟而成.

考查目标 （1）考查空间角问题（包括线与线、线与面、面与面之间的平行、垂直）;（2）均值不等式及导数在求取值范围问题中的应用.

设计思路 可以说立体几何只包含两大类问题：空间角与空间距离.教材以空间角为重点，考题也是如此.把本题第（2）问改为“（2）设直线PB与平面PAC所成角的大小为θ，当θ变化时，求sinθ的最大值”后，可作为文科学生练习，且不需求导，用均值不等式即可求解;图5中的四面体PABC是鳖臑.

难度估计 0.50.

作者简介 甘志国（1971—），湖北竹溪人，研究生学历.正高级教师，特级教师，湖北名师.研究方向：解题研究、高考研究和初等数学研究.