全概率公式的推广及应用

兰瑞平

(吕梁学院 数学系，山西 离石 033001)

全概率公式是概率论的一个重要公式，在概率计算的问题中有着举足轻重的作用.它化繁就简，使一些复杂事件的概率的计算简单化.但是由于其条件比较严格，在实际问题中有时难以满足，因此需要将其条件进行弱化，使之成为解决复杂事件概率计算的实用性工具；另外，将全概率公式在条件概率下进行推广，可以扩大其使用范围.

以下内容介绍全概率公式的四种推广形式，并通过具体的例子介绍其应用.首先介绍基本概念.

定义(划分)[1]设(Ω，F，P)为概率空间，若事件列Bi∈F，i=1，2，…，n满足：

(2)B1，B2，…，Bn两两互斥，即BiBj=∅ ，i≠j，i，j=1，2，…n；

则称B1，B2，…，Bn为Ω的一个划分(或分割)，称B1，B2，…，Bn为完备事件组.

引理1 (全概率公式)[1]设(Ω，F，P)为概率空间，若事件列B1，B2，…，Bn是Ω的一个划分，且P(Bi)>0，i=1，2，…，n，则对∀A∈F，有

将定义与引理1合并，表述为引理1′.

引理1′(全概率公式)[1]设(Ω，F，P)为概率空间，若Bi∈F，i=1，2，…，n.满足：

(2)BiBj=∅，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0，i=1，2，…，n；

则对∀A∈F，有

注：全概率公式中，对Ω进行划分的事件个数n可以是，见参考文献[2].

下面对引理1′中的条件进行不同形式的弱化，得到推广的全概率公式.

1 对条件的弱化

定理1[1，3]设(Ω，F，P)为概率空间，若∀A∈F，Bi∈F，i=1，2，…，n，满足：

(2)BiBj=∅，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0，i=1，2，…，n；

则有

图1

例1向某平面区域内随机投点，随机点落入边长为1的小正方形区域Bi，i=1，2，3，4内的概率分别是0.1，0.2，0.2，0.3，落到大正方形区域(B1∪B2∪B3∪B4)外的概率为0.2，如图1.当随机点落入区域Bi，i=1，2，3，4时，随机点在Bi，i=1，2，3，4区域中服从均匀分布.试求平面上的随机点落入大正方形内接圆内的概率.

解：记A为事件“平面上随机点落入内接圆”，记Bi为事件“平面上随机点落入区域Bi”，i=1，2，3，4.由题意知圆的半径为1，故圆的面积为π.且

P(B1)=0.1，P(B2)=0.2，P(B3)=0.2，P(B4)=0.3，

2 对条件“事件列B1，B2，…，Bn两两互斥”的弱化1

在实际问题中，有时不容易找到两两互斥的事件列，往往事件列之间的关系是相容的，但若其相容的概率为零，则可以改变全概率公式的限制条件，进而扩大其应用范围.

定理2[4]设(Ω，F，P)为概率空间，若事件列Bi∈F，i=1，2，…，n满足：

(2)P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，…n；

(3)P(Bi)>0；

则对∀A∈F，有

证明： ∀A∈F，由条件(1)知

由概率的加法公式可得

而当i≠j时有P(BiBj)=0，从而有

P(ABiBj)=0，…，P(AB1B2…Bn)=0，

所以

由定理2的条件可知，只需要P(BiBj)=0，i≠j，而未必要求B1，B2，…，Bn两两互斥，全概率公式仍然成立.

图2

例2向平面上的区域随机投点，如图2.随机点落入闭矩形区域Bi，i=1，2，3，4内的概率分别是0.2，0.3，0.2，0.3.当随机点落入区域Bi时，点在该区域中服从均匀分布.试求随机点落入圆A内的概率[4].

解：记A为事件“平面上随机点落入圆A内”，Bi为事件“平面上随机点落入区域Bi内”，i=1，2，3，4.依题意知圆的半径为1，故圆的面积为π.由于B1，B2，B3，B4都是闭矩形区域，显然BiBj≠∅，i≠j，i，j=1，2，3，4， 但是P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，3，4.依题意，有

P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(B4)=0.3，

在这个问题中，由于B1，B2，B3，B4都是闭矩形区域，故其两两之间是有交集的，其交集就是图形与图形之间的交线.又由几何概型得其概率为P(BiBj)=0，i≠j，i，j=1，2，3，4，满足定理2的条件.

3 对条件“事件列B1，B2，…，Bn两两互斥”的弱化2

定理3[4]设(Ω，F，P)为概率空间，Bi∈F，i=1，2，…，n.如果有

则对∀A∈F，

证明：要证明定理成立，只需要证明

先证明(i).由于

B1∪(B2-B1)=B1∪B2，(B1∪B2)∪(B3-(B2∪B1))=B1∪B2∪B3，

以此类推，可得

对于(ii)，由于i≠j，不妨设i

定理1、定理2中证明的全概率公式的推广形式都有三个限制条件，而定理3中的推广形式既不需要事件列两两互斥，也不要求其概率为零.只需后一事件减去前面事件和之后的事件概率大于零即可.在一些情况下，此推广形式使用更加方便.

例3有王军、陈亮、张剑三名士兵同时向天空中同一飞行方向的目标进行射击，这几名士兵分别击中的概率是0.3，0.6，0.8.假设三人中只有一人击中，那么这一飞行目标被击落的概率是0.2；假设三人中有两人击中，那么这一飞行目标被击落的概率为0.6；假设三人均击中，那么这一飞行目标就会被击落，试求该飞行目标被击落的概率[4].

B0= “三人都未击中飞行目标”，

B1-B0= “三人中只有一人击中飞行目标”，

B2-B1-B0= “三人中只有两人击中飞行目标”，

B3-B2-B1-B0= “三人都击中飞行目标”.

为两两互斥事件.由三人射击的独立性可得

P(B0)=0.056，P(B1-B0)=0.332，

P(B2-B1-B0)=0.468，P(B3-B2-B1-B0)=0.144，

又有

P(A|B0)=0，P(A|B1-B0)=0.2

P(A|B2-B1-B0)=0.6，P(A|B3-B2-B1-B0)=1.

由定理3可得

P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1-B0)P(A|(B1-B0))+P(B2-B1-B0)P(A|(B2-B1-B0))+

P(B3-B2-B1-B0)P(A|(B3-B2-B1-B0))

=0.056×0+0.332×0.2+0.468×0.6+0.144×1=0.3616.

即飞行目标被击落的概率为0.3616.

注：本题也可以直接使用定理1中的全概率公式求解.

4 全概率公式在条件概率下的推广

之前的推广都是“原因直接产生结果”的模型，但有些随机事件的结果并非由原因直接导致的，而是由一系列中间变化的过程得到的，求解这类问题实际就是在条件概率下对全概率公式进行推广.

定理4[5]设(Ω，F，P)为概率空间，B1，B2，…，Bn为一个完备事件组，则对∀A1⊂Ω，∀A2⊂Ω，且P(A1Bi)>0，i=1，2，…，n，有

于是有

定理得证.

注：此定理的详细说明可参考文献[5].

显然，当事件A1与Bi，i=1，2，…，n相互独立时，有以下推论.

推论设(Ω，F，P)为概率空间，B1，B2，…，Bn为一个完备事件组，则对∀A1⊂Ω，∀2⊂Ω，且A1与Bi，i=1，2，…，n相互独立，P(A1Bi)>0，i=1，2，…，n，有

例4某工厂为了了解车间的生产情况，从三个车间分别抽取了20，25，30个产品进行检验，其中一等品分别为4，5，8个.现随机选定一个车间的产品，并从中先后不放回地任意选取2个产品.(1) 求第一次取到的是一等品的概率.(2) 已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的产品也是一等品的概率.

解：记Ai={第i次取到一等品}，i=1，2；Bj={选取的是第j个车间}，j=1，2，3.

(1)由全概率公式有：

P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)=

(2)由题意知

P(A2|A1)=P(B1|A1)P(A2|A1B1)+P(B2|A1)P(A2|A1B2)+P(B3|A1)P(A2|A1B3)=

其实，在有关概率和随机模型的研究中，凡是涉及到用概率分析的方法，全概率公式几乎都会被使用.那么能够灵活使用全概率公式就会为解题提供很大的方便，本文通过几种推广形式进一步扩大了全概率公式的使用范围，使其真正成为我们解决问题的有效工具.