牛顿环干涉实验仿真及研究

郭小花，张明霞，武彩霞

（天水师范学院 电子信息与电气工程学院，甘肃 天水 741001）

牛顿环是牛顿在1675年首先观察到的，它是一种光的等厚干涉图样。在大学物理光学实验中，牛顿环干涉实验是一个必做的基础性实验。大多数文献[1-3]的实验方法是将牛顿环实验装置置于空气中，观察牛顿环的条纹特征，通过测定牛顿环条纹半径计算平凸透镜曲率半径，个别文献[4]也利用此实验装置测定液体的折射率，而对牛顿环本身特性的分析和研究的相关文章很少见。本文利用Matlab仿真[5-7]牛顿环干涉，通过改变介质膜折射率n、入射光波长λ和平凸透镜曲率半径R分析了影响牛顿环干涉条纹的因素，是对牛顿环干涉实验的进一步完善和补充，也为光学仿真实验的深入开展提供了新思路。

1 实验原理

如图1所示牛顿环干涉原理图，将一曲率半径较大的平凸透镜的凸面与一磨光平玻璃板相接触时，在透镜的凸面与平玻璃板之间将形成一介质薄膜，离接触点O等距离的地方，厚度相同。若以某一波长的单色平行光垂直射向平凸透镜时，由介质膜进入透镜的光束部分先被透镜的凸面反射回去，另一部分透入介质膜后，遇到平面玻璃板反射，这两束反射光相互叠加，形成的干涉条纹形状为膜的等厚点的轨迹，这种干涉是一种等厚干涉。因为同一半径的圆环处介质膜厚度相同，故在反射方向观察时，将看到一组以接触点O为中心的明暗相间的同心圆环状条纹，而且中心O处是一暗斑（在没有灰尘等杂质影响下）。如果在透射方向观察，则看到的干涉环纹与反射光的干涉环纹的光强分布恰成互补，中心是亮斑，原来的亮环处变为暗环，暗环处变为亮环，这种干涉观察最早为牛顿所发现，故称为牛顿环。

图1 牛顿环干涉原理图

当以波长为λ的单色光垂直照射到平凸透镜上时，由介质膜上下表面反射的两束光将互相干涉，其光程差为

式中d为某一级条纹所在处的介质膜厚度，n为介质膜的折射率，若整个装置置于空气中则通常取n=1.0，为额外光程差。

由图1中的几何关系有R2=(R-d)2+r2，忽略二阶小量d2，化简可得（r为对应级次的干涉条纹半径，R为平凸透镜曲率半径），代入（1）式，有

忽略光在传播过程中的损耗，就可以认为两束反射光强度近似相等，设均为I0，则由双光束干涉理论[8,9]可知，干涉场（反射光方向）的光强分布公式为

2 实验仿真

根据以上计算结果，利用光强分布公式（3），选取波长589.3nm的钠黄光作为入射光，取平凸透镜的曲率半径为150cm，并取介质膜为空气膜即n=1.00，利用Matlab编写代码，运行程序进行牛顿环实验仿真，仿真结果为如图2（a）所示的干涉图样，是中心为暗斑的明暗相间的内疏外密的同心圆条纹，与实验现象相符。接着依次改变介质膜折射率n=1.15、n=1.30和n=1.45，相应得出图2(b)、(c)、(d)所示干涉图样。由图2可知，随介质膜折射率n的增大，牛顿环中心暗斑略有减小，对应级次的条纹半径也随之略有减小。也即牛顿环中心暗斑和对应级次条纹半径随折射率n的增大而略有减小，但变化不明显，这是因为介质膜折射率n值本身变化较小。

图2 牛顿环条纹随介质膜折射率n的变化

再选取波长589.3nm的钠黄光作为入射光，取介质膜为空气膜即n=1.00，依次改变平凸透镜的曲率半径R=1.0m、R=1.5m、R=2.0m和R=2.5m，仿真结果如图3（a）、（b）、（c）、（d）所示。由图3可知，随平凸透镜的曲率半径R的增大，牛顿环中心暗斑越来越大，对应级次条纹半径也随之越大，与相关文献[10]实验结果完全相符。也即牛顿环中心暗斑和对应级次条纹半径随平凸透镜的曲率半径R的增大而增大，且变化比较明显，这是因为R值本身变化比较大。

图3 牛顿环条纹随平凸透镜曲率半径R的变化

图4所示介质膜为空气膜，即n=1.00，平凸透镜的曲率半径为150cm，依次改变入射光波波长λ为400nm、550nm、650nm和760nm，对应得到图4（a）、（b）、（c）、（d） 所示结果。同理由图4可知，牛顿环中心暗斑和对应级次条纹半径随入射光波波长λ的增大而增大，而且变化明显；因为入射光波长本身变化比较大。

图4 牛顿环条纹随入射光波长λ的变化

3 理论对比

由光强分布公式（3）可知，当光强取到极小值I=0时，Δφ=(2j+1)π(j=0,±1,±2,…)，又，即在处对应暗纹，结合式（2）有，(对牛顿环j=0,1,2,…)；而当光强取到极大值I=4I0时，Δφ=2jπ(j=0,±1,±2,…)，即处对应亮纹，结合式 （2）有，(对牛顿环j=1,2,3,…)，故在反射光方向观察时，牛顿环暗纹半径

牛顿环亮纹半径

上式中j为牛顿环条纹对应的干涉级次。

由式（4）（5）可知，在反射光方向观察牛顿环时，中心应该是0级暗斑，除此之外，不管暗纹还是亮纹，都有，说明牛顿环对应级次条纹半径r随平凸透镜曲率半径R的增大而增大；，说明牛顿环对应级次条纹半径r随入射光波长λ的增大而增大；，说明牛顿环对应级次条纹半径r随介质膜折射率n增大而减小；并且r随干涉级次j的增大而增大。可见，牛顿环实验仿真结果与理论计算结果完全相吻合。

4 结论

本文利用Matlab仿真牛顿环干涉，通过改变仿真程序中的相应参量得出牛顿环中心暗斑和对应级次条纹半径随介质膜折射率n的增大而减小，随平凸透镜的曲率半径R的增大而增大，随入射光波波长λ的增大而增大，而且仿真结果与理论计算结果完全相吻合。这说明牛顿环仿真实验能够很好地演示牛顿环干涉图样，也方便分析影响牛顿环条纹特征的诸多因素，使学生在现有的实验课基础上更加全面地理解牛顿环干涉实验，掌握牛顿环条纹特征，克服了实验仪器单一、各参数固定不变的缺点，是对传统牛顿环实验的完善和补充。