“数形结合”求二次函数最值

文康叶红

“以形助数”“以数解形”，使复杂问题简单化，是数学的规律性和灵活性的有机结合。我们从形的直观和数的严谨两方面思考问题，便拓宽了解题思路，使问题得以更快解决。

原题呈现 苏科版《数学》九年级下册第17页例题：

画出二次函数y=-x2-4x-5 的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值。

【解析】本题考查的是二次函数的图像和性质。想要画出二次函数y=-x2-4x-5 的图像，可先将函数表达式变形为y=a（x-h）2+k的形式。结合图像，得出二次函数的图像特征和函数最值。

解：y=-x2-4x-5

二次项系数a=-1＜0，函数图像开口向下，顶点坐标是（-2，-1），对称轴是直线x=-2。

二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图1所示。

当x=-2 时，y的 值 最 大，最 大 值是-1。

【总结】借助函数图像上点的位置的“直观变化”，结合函数表达式确定的“数量变化”，可求二次函数的最大值和最小值。

因此，归纳如下：

二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线，它的顶点坐标是对称轴是直线

当a＞0 时，抛物线开口向上，当x=时，函数y=ax2+bx+c的值最小，

当a＜0 时，抛物线开口向下，当x=时，函数y=ax2+bx+c的值最大，

继续思考

【变式一】已知二次函数y=-x2-4x-5，当-3≤x≤0 时，求函数的最大值和最小值。

【解析】由例题可知：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1。与例题不同的是，自变量x的取值范围：例题中x可取一切实数，但在变式一中，x的取值范围是-3≤x≤0，即原来二次函数y=-x2-4x-5 的图像的一部分。画出图像，直观判断，从而求出最值。

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1。

二次项系数a=-1＜0，函数图像开口向下，顶点坐标是（-2，-1），对称轴是直线x=-2。

当-3≤x≤0 时，二次函数y=-x2-4x-5的图像如图2所示。

观察图像可知：当x=0 时，y的值最小，y最小值=-5；当x=-2 时，y的值最大，y最大值=-1。

【变式二】已知二次函数y=x2-2x-3，当时，求函数的最大值和最小值。

【解析】此问题是求二次函数y=x2-2x-3 的最值，但自变量x的取值范围是画出二次函数的图像并观察，我们不难发现最值与x的取值范围有关。如图3，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大。

巩固提升

【变式三】已知二次函数y=-x2+2x+2，当t≤x≤t+2 时，求函数的最大值和最小值。

【解析】观察题目，要求函数的最值，可画出函数图像，根据函数图像的性质进行判断。题中给出的x的取值范围含有参数，则需对其进行分类讨论，根据原函数的对称轴为直线x=1，试着进行分析。结合所学，我们可分对称轴在所给范围左侧、之间、右侧三种情况进行讨论，画出图像，根据图像性质求出最值。

解：y=-x2+2x+2=-（x2-2x+1-1）+2=-（x-1）2+3。

二次项系数a=-1＜0，函数图像开口向下，顶点坐标是（1，3），对称轴是直线x=1。

（1）当t+2≤1 时，即t≤-1 时，由图4知，当x=t时，y的值最小，y最小值=-t2+2t+2；当x=t+2 时，y的值最大，y最大值=-（t+2-1）2+3=-（t+1）2+3=-t2-2t+2。

（2）当t＜1＜t+2时，知-1＜t＜1。

①当-1＜t≤0 时，由图5 知，当x=t时，y的值最小，y最小值=-t2+2t+2；当x=1时，y的值最大，y最大值=3。

②当0＜t＜1 时，由图6 知，当x=t+2时，y的值最小，y最小值=-（t+2-1）2+3=-t2-2t+2；当x=1时，y的值最大，y最大值=3。

（3）当t≥1 时，由图7 知，当x=t+2时，y的值最小，y最小值=-（t+2-1）2+3=-t2-2t+2；当x=t时，y的值最大，y最大值=-t2+2t+2。