4-R（2-SS）并联机器人机构积分指数自适应滑模控制研究

王 哲，高国琴

（江苏大学 电气信息工程学院，镇江212013）

近年来，我国的水果产量增长迅猛，传统人工分拣方法已很难满足现代农业生产的需求。通常水果自动分拣操作中需要机械手可实现SCARA 运动。目前在可实现SCARA 运动的分拣操作中多采用Delta 机械手添加可伸缩转轴UPU 支链的方式。然而，UPU 支链长期处在工作空间边缘时磨损较严重，影响机械手寿命和控制精度。故在此研制了一款4-R（2-SS）并联机器人，以实现可靠、高效的水果分拣。该机构可实现SCARA 运动，具有刚度大、精度高、承载能力强，分拣效率高等优势。为实现4-R（2-SS）——R 为旋转副、S 为球副——并联机器人机构的运动学高性能控制，将研究解决2 个关键问题：①支路间耦合问题；②克服系统不确定性问题。

1 关键问题研究

通常，运动学控制假定并联机器人支路间是独立无耦合的，然而并联机器人的闭链结构特点导致其关节空间各驱动关节间存在惯量耦合的动力学特性，这将会限制或降低并联机器人系统控制精度和产生不希望的输出[1]。其次，由于4-R（2-SS）并联机器人机构系统是一种复杂的非线性系统，难以实时精确得到各支路驱动关节等效惯量，并且实际控制中并联机器人系统存在外部扰动等。这些不确定因素也严重影响着并联机构的控制性能，因此需要提高并联机器人系统克服系统不确定性的能力。

目前，针对并联机器人各支路所设计的自适应控制[2]、鲁棒控制[3]等先进控制器，通过将各通道之间的耦合作为外干扰从而进行抑制或补偿，通常作用有限，难以有效补偿耦合作用。故在此通过建立关节空间动力学模型，求得各支路驱动关节包含耦合惯量的等效惯量，以能够在运动学控制中补偿各支路间耦合作用。

滑模控制被认为是一种设计非线性不确定系统鲁棒控制器的有效方法。针对滑模控制存在的抖振问题，相关学者提出了很多方法，如高阶滑模方法[4]、终端滑模方法[5]等，然而这些方法仍需根据系统不确定性的先验信息进行切换增益设计；文献[6]针对电控气动执行器系统，提出了类似于“边界层”的积分自适应滑模控制IG-ASMC 方案，但该方法仍存在切换增益过估计问题。为此而设计了积分指数自适应律算法，在无需系统不确定性边界的先验信息下，有效抑制滑模控制抖振，以提高4-R（2-SS）并联机器人控制性能。

2 4-R（2-SS）并联机器人机构动力学分析

2.1 机构简述

4-R（2-SS）并联机器人由4-R（2-SS）并联机器人机构和夹持机构组成，其实物如图1所示。

图1 4-R（2-SS）并联机器人实物Fig.1 Physical figure of 4-R（2-SS） parallel robot

4-R（2-SS）并联机器人机构包括静平台、动平台以及4 组正交布置的R-（2-SS）支链。为减小运动部件质量，主动臂和从动臂主要由碳纤维材料制作而成，动平台主要使用铝合金材料制成。动平台由主平台和辅平台构成，主平台和辅平台通过转动机构连接，转动机构包括固接于辅平台上的螺母和通过轴承转动连接在主平台上的丝杠。

2.2 运动学分析

为便于运动学分析，可将4-R（2-SS）并联机器人机构简化为如图2所示的等效机构。

图2 4-R（2-SS）并联机器人机构运动学简图Fig.2 Kinematic schematic of 4-R（2-SS） parallel robot mechanism

选取静平台中点建立参考坐标系O-xyz，在该坐标系下将主平台视为质点P1，辅平台视为质点P2，则动平台主（辅）上的点P1（P2）的位置矢量r 为

其中

式中：s 为点P1到点P2距离；e 为静平台中心到主动臂转轴的距离；l1，l2，ui，wi分别为支路i 主动臂和从动臂的杆长、单位矢量；θi为主动臂i 的转角。根据机构的装配模式，可得运动学逆解方程为

其中

将式（1）等式两边分别对时间求导，整理可得

其中

式中：Jθ为直接雅克比矩阵；Jx为间接雅克比矩阵；J 为雅克比矩阵。

将式（5）关于时间求导，可得加速度模型为

其中

2.3 动力学分析

为建立4-R（2-SS）并联机器人机构动力学模型，作出假设：①运动副无因摩擦引起的能量耗散；②因从动臂为轻杆，忽略其转动惯量，而将其质量按1∶2分比号配到动平台和主动臂。

根据虚功原理，可得

式中：τ 为主动关节的驱动转矩；τAg为主动臂对其转轴的重力矩；IA为主动臂等效至其转轴的转动惯量；IS为动平台转动丝杠及负载对其转轴的转动惯量；为动平台转动丝杠角加速度。

将δθ=Jδr 和δθS=（2π/p）δs（式中p 为丝杠螺距）代入式（8），整理为关节空间动力学模型，可得

对于4-R（2-SS）并联机器人机构，M（θ）为44的对称正定矩阵，称为惯量矩阵。若不考虑各支路间的耦合作用，则各驱动关节上的等效惯量参数即为惯量矩阵中相应主对角元素。耦合作用的强弱可通过惯量矩阵对角占优特性描述，其定义为：若矩阵的每个主对角元素的模都大于该行其它元素的模之和，则称该矩阵“严格对角占优”。

2.4 惯量矩阵耦合分析

文献[7]采用“关节反映惯量”JRI（joint-reflectedinertia）的概念，解决并联机器人的惯量匹配问题，但它未考虑支路间的耦合作用。故在此定义惯量矩阵对角占优特性指标DDI（diagonally dominant index）为

可得

式中：tr（M）为惯量矩阵的迹。

2.5 等效惯量参数计算

将式（9）中的惯量矩阵展开，可得

式中：τa为驱动转矩中的惯量项，有

使得

结合式（12），可以得到

综上，可得驱动关节等效惯量为

式中：λi为惯量矩阵的特征值。从而施加在电机轴上的电机等效负载惯量为

3 控制器设计

3.1 自适应律设计

3.1.1 假设

考虑不确定非线性系统

式中：x∈χ 为系统状态向量；χ⊂Rn为包含原点的领域；u∈R 为控制输入；f（x）与g（x）为包含参数不确定与外界扰动的光滑函数。控制目标为迫使滑模变量s 有限时间到达零的领域附近。假设s 相对于控制输入u 的相对阶为1。因此

3.1.2 自适应律设计

对于非线性不确定系统（19），其滑模变量如式（20）所示。将定义的反馈控制律u（t）=-K（t）sgn（s）代入式（20），可得

式中：sgn 为符号函数；K 为切换增益。为克服现有自适应律存在的缺点，设计了新型积分指数自适应律，即

式中：α＞0，ε＞0，β＞0，μ＞0，γ 为正整数。当β=0，该自适应律简化为如文献[6]所提出的积分自适应律。

3.2 自适应滑模控制器设计

所设计的4-R（2-SS）并联机器人机构运动控制的原理如图3所示。

以各支路交流伺服驱动电机和驱动器为被控对象，建立并联机器人单支路数学模型[3]，即

其中

图3 4-R（2-SS）并联机器人机构运动控制原理Fig.3 Motion control principle of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism

式中：x 为系统状态变量；u，y 分别为系统输入、输出；d（t）为外部干扰。考虑f（x）=（x）+（x），g（x）=（x）+（x），其中（x）和（x），（x）和（x）分别为f（x）和g（x）的名义值、相应不确定值。则单支路控制系统基于等效控制的滑模控制输入设计如下：

设计滑模变量s 为

其中

式中：c1，c2为可调参数，且满足霍尔伍兹稳定条件。可得

其中

式中ρ（t）为集总不确定项。则滑模变量动态方程为

控制律u 为

当s˙=0 时，可推导出ueq为

将式（28）代入式（26），可得

综上，总的控制律为

3.3 稳定性证明

所设计的ASMC 存在补偿阶段与趋近阶段。

1）补偿阶段 对于切换增益K＜（ψsgn（s）/Γ），有

由式（21）（31），可得

对于任何t≥t*，如果再次出现（ψsgn（s）/Γ）＞K，K 将再一次补偿ψsgn（s）/Γ，因此总是存在t*≥0。由于滑模变量s 满足＞ε，因此（t）仍保持增加，不失一般性，存在к＞0 和δt＞0。对于t≥t*+δt

2）趋近阶段 补偿阶段结束后，系统轨迹进入趋近阶段。构造Lyapunov 函数为V=s2，对于所有t≥t*+δt，有

即

对式（37）不等式两边在t*+δt 和t≥t*+δt 间进行积分，可得在有限时间内收敛到领域≤ε。

4 仿真试验及结果分析

为验证所设计积分指数自适应滑模控制算法和驱动关节等效惯量参数计算方法的正确性与有效性，在4-R（2-SS）并联机器人工作空间中选取一段门子形测试轨迹，根据动力学模型分别得到相应包含耦合惯量的与未包含耦合惯量的电机惯量参数J′DDI与J′JRI（电机转子惯量J 与相应电机等效负载惯量之和）。在此基础上取其平均值和进行自适应滑模控制器设计。其过程如下：

1）分别对所设计的积分指数自适应滑模控制IEG-ASMC 方法、文献[6]中IG-ASMC 方法及切换增益恒定的滑模控制（SMC）方法，在如图4给定期望轨迹下，以作为电机惯量参数及为自适应滑模控制设计参数，外部扰动d（t）=6000 cos（2πt）进行仿真。图中，机构的4 个自由度分别为x，y，z 方向的平动，以及绕z 轴方向的转动（s 方向）。

图4 末端执行器位姿各分量期望轨迹Fig.4 Desired trajectory of the end effector

根据电机模型参数和伺服驱动器，设置式（23）中参数为Rph=18 Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.0525 H，KT=1.25 N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。自适应滑模控制器参数为c1=2500，c2=100，α=0.01；ε＝（x）KTe。其中仿真步长Te=0.001，β=1.5，μ=0.01，γ=1。仿真结果图5所示。

图5 积分指数自适应滑模验证Fig.5 Verification of integral index adaptive sliding mode

由图可见，所提出的IEG-ASMC 方法在保证良好的跟踪性能下，可以有效削弱滑模控制的抖振问题。

图6 机构惯量特性Fig.6 Inertia characteristics of mechanism

驱动关节等效惯量的验证如图7所示。由图可见，所提出的考虑支路间耦合的驱动关节等效惯量计算方法，由于有效地计入了支路间的耦合作用，使得系统具有更高的跟踪精度。

图7 驱动关节等效惯量验证Fig.7 Verification of equivalent inertia of driving joint

5 试验

为进一步验证所提出的积分指数自适应控制方法和驱动关节等效惯量参数计算方法的正确性与有效性，将该算法应用于4-R（2-SS）并联机器人样机进行试验。4-R（2-SS）并联机器人样机系统如图8所示，主要由上位——PC，下位机——UMAC 多轴运动控制器组成。

图8 4-R（2-SS）并联机器人样机Fig.8 Prototype of 4-R（2-SS）parallel robot

将所设计的考虑支路间耦合的IEG-ASMC 与IG-ASMC，SMC 以及不考虑支路间耦合的IEGASMC 进行对比试验。支路电机跟踪误差曲线如图9所示。

图9 支路1 电机跟踪误差Fig.9 Tracking error of branch 1 motor

试验结果进一步验证了本文所提出的方法，能够克服支路间耦合作用和系统不确定性作用，提高4-R（2-SS）并联机器人控制性能。

6 结语

以所研发的4-R（2-SS）并联机器人机构为被控对象，着重研究了支路间存在的耦合问题，以及提高并联机器人系统在无需系统不确定性边界的先验信息条件下克服系统不确定性能力。为此，在关节空间动力学模型分析的基础上，研究了考虑支路间耦合的驱动关节等效惯量计算方法。针对4-R（2-SS）并联机器人机构控制系统中存在的不确定性问题，在无需系统不确定性边界的先验信息条件下克服系统不确定性能力，同时有效地抑制滑模控制抖振。