深海柔性立管弯曲加强器力学建模及参数敏感性分析

李冠军, 姜冬菊, 黄 丹

(河海大学力学与材料学院，南京 211100)

柔性立管以其能够大曲率弯曲、不易腐蚀、柔顺性突出、铺设简易、可设计性强等优点被越来越广泛应用于深海开发。柔性立管在自身重力、浮力以及海洋环境等多种荷载作用下动态响应十分复杂，是整个海洋油气开采系统中较为薄弱的部分[1]，通常在关键部位采用弯曲加强器以保障系统的工作性能。作为立管系统的重要构件，弯曲加强器的设计和研究对深海开发十分重要。

国内外对弯曲加强器-立管系统已有不少分析研究，并应用于工程实际。De Runtz[2]基于细长梁理论的线弹性立管和弯曲加强器分析方法一直被广泛使用。Boet等[3]进一步将弯曲加强器立管段考虑为截面随轴线变化的线弹性长梁，分析大变形下立管的曲率分布，后续的研究基本都以此理论作为基础。李彤等[4]基于有限元分析发现弯曲加强器能较好地防止柔性立管过度弯曲。Lane等[5]开发了弯曲加强器的设计软件，并与ABAQUS进行验证对比。Caire等[6]研究了立管与弯曲加强器之间的挤压力问题。Vaz等[7]在2004年首先提出了弯曲加强器的几何和材料非线性模型，并证明非线性条件影响显著，这也是本文研究的基础。李博[8]基于线弹性假设建立了弯曲加强器的解析模型，并与席勇辉等[9-10]采用梁单元建立的弯曲加强器二维有限元模型分析结果进行对比，从一定程度上验证了解析模型的准确性。姬鸾[11]采用基于进化策略的优化算法对线弹性梁模型模拟的柔性立管和弯曲加强器的组合结构进行了优化设计，找到了结构变形合理的弯曲加强器，并尽量减少体积。王爱军[12]考虑疲劳概率性约束，对弯曲加强器进行优化设计。孙凯[13]考虑材料非线性、弯曲加强器与立管管体之间的接触摩擦，进行了弯曲加强器三维有限元分析，验证了在弯曲加强器详细分析很有必要考虑材料非线性。荆彪等[14]建立了弯曲加强器与柔性立管组合等效模型，研究了弯曲加强器的实际结构参数对其自身防弯性能的影响。

弯曲加强器的原材料通常为聚氨酯材料，这是一种典型的力学行为较为复杂的高分子超弹性材料，使用简化的线弹性模型无法精确描述该材料的非线性力学行为，而非线性Mooney-Rivlin模型能更为精确地描述此类材料的力学行为，并成功应用于此类材料的大变形力学分析中[15-17]。

基于已有研究现状，同时考虑几何大变形以及弯曲加强器和立管管体之间的接触非线性，并通过引入Mooney-Rivlin模型描述弯曲加强器的材料非线性行为，构建三维非线性力学模型分析弯曲加强器-立管系统的力学行为，并在此基础上对弯曲加强器的关键结构设计参数进行敏感性分析。

1 力学建模

1.1 线性模型

由于计算简单，线性模型在以往研究和工程设计中应用较为广泛。De Runtz[2]将弯曲加强器-立管系统简化为受拉-弯组合的变截面梁模型，通过拉力和施加角度体现系统的不同受力情况，如图1所示。

在弯曲刚度连续的假设下，可以得到立管在末端受拉伸作用下的微分方程为

(1)

弯曲加强器的变形方程为[8]

(2)

同时De Runtz[2]给出了边界条件：

在θ=0处，S=0;

在θ=θL处，F=T;

在θ=θL处，V=0;

在θ=θL处，M=0。

式中：M为弯矩；V为剪力；T为拉力；θ为管道微元中心线与X轴的夹角；θL为变形后中心线与X轴的夹角，S为弯曲加强器长度，EI为柔性立管与弯曲加强器组合的抗弯刚度。

图1 弯曲加强器简化力学模型Fig.1 Simplified Mechanical model of bending stiffener

1.2 非线性模型

弯曲加强器原材料要求具有耐水性、抗老化、可以承受高频率的循环弯曲、断裂伸长率高等各种特性，聚氨酯材料[18]由于兼具上述多种性能，成为国际上制作弯曲加强器的首选材料。该材料在拉伸时有明显的非线性特征。本文中引入Mooney-Rivlin模型其应力-应变关系进行拟合。

Mooney-Rivlin模型可根据不同的分析需要，选取二项三阶展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项三阶展开式等[19]，其应变能密度函数模型为

(3)

典型的二项三阶展开式为

(4)

式中:I1、I2和I3为变形张量不变量；N、Cij和dk由材料试验确定；对不可压缩材料，J=1。

主应力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的关系为

(5)

(6)

二项参数Mooney-Rivlin模型应变能密度函数为W=C10(I1-3)+C01(I2-3)，结合式(5)、式(6)可求得：

(7)

式中：λ1、λ2为主伸长比，t1为应力。即采用二项参数Mooney-Rivlin模型描述弯曲加强器材料的非线性力学行为，模型参数由试验数据拟合得到。

随着荷载变化，柔性立管与弯曲加强器之间会发生接触和分离，力学响应随之改变。此外，柔性立管与弯曲加强器刚度较小，正常作业时可能会发生大变形。因此，同时考虑接触非线性和几何非线性能更精确描述系统的力学行为。现采用Newton-Raphson方法分析几何非线性问题[20]；基于最小势能原理、接触协调条件和罚函数法求解接触非线性问题。接触问题描述为

(8)

式(8)中：∏(U)为势能；gi为第i个接触点对的距离。

2 三维非线性分析

2.1 数值模型

根据设计规范API RP 17L2—2013[21]与工程实际，典型弯曲加强器结构是一种类似圆锥形的三段式构件，结构如图2所示。第1段为圆柱，是与刚性构件的连接与夹持部分；第2部分为圆台形，是弯曲刚度的过渡段；第3部分为圆柱，是弯曲加强器的自由端部分，主要用来防止弯曲加强器下端部分出现曲率局部过大。图2中模型立管外径为0.13 m，管壁厚0.01 m。弯曲加强器3段长度分别为0.2、2.5和0.3 m。在左侧齐平端对立管和弯曲加强器施加固定约束，在立管右侧自由端施加大小为18.5 kN的拉力，拉力方向与水平方向的夹角为30°。整体有限元模型如图3所示。

图2 三段式弯曲加强器结构Fig.2 Structure of three-segment-typed bending stiffener

图3 有限元模型Fig.3 Finite element model

图4 聚氨酯应力-应变试验结果[22]Fig.4 Experimental data for stress-strain of polyurethane[22]

图5 Mooney-Rivlin模型参数拟合Fig.5 Mooney-Rivlin model coefficient fitting

2.2 结果分析

采用线性模型分析弯曲加强器时，求解方程(2)，可得立管轴向长度上的曲率值。图6所示为相同荷载工况下采用线性模型、仅考虑几何非线性、同时考虑几何非线性和材料非线性这3种情况下弯曲加强器-立管系统的曲率比较。

由图6可见，采用线性简化模型时，立管曲率明显高于采用非线性模型所得解，在弯曲加强器与立管连接处出现曲率过大。仅考虑几何非线性与同时考虑几何非线性和材料非线性相比，结果也有明显区别，尤其在靠近固定端处曲率计算结果差距明显。因此，在计算条件允许的情况下，在进行弯曲加强器设计分析时，应尽可能充分考虑几何非线性、材料非线性和接触非线性的影响。

图6 非线性对立管曲率的影响Fig.6 The influence of nonlinearity on the curvature of riser

3 弯曲加强器参数敏感性分析

弯曲加强器主要安装在立管容易发生应力集中或弯曲破坏的位置，如柔性立管顶端连接处，起刚度过渡、缓解应力集中和过度弯曲、减少疲劳损伤的作用。顶端悬挂点为强度最危险点[23]，在考虑弯曲加强器的几何非线性与材料非线性的情况下，减小立管顶端连接处的曲率和应变及立管曲率应力整体变化趋势是衡量弯曲加强器防弯效果的重要指标。

3.1 弯曲加强器三段长度比例的影响

三段式弯曲加强器的总长度对立管的曲率影响较大，但仅增大总长度将显著提升成本。现在弯曲加强器给定总长度条件下分析各段长度比的影响。通过已有研究可知，三段式弯曲加强器的末端长度对立管的曲率和应力变化影响很小，改变末端长度对防弯效果无明显改善。综上，将弯曲加强器的总长度固定为3 m，将末段长度固定为0.3 m，研究弯曲加强器首段和圆锥段长度比例的变化对防弯性能的影响，得到立管的曲率如图7(a)所示，立管应力如图7(b)所示。

由图7可知，在末段长度和弯曲加强器总长度固定的情况下，首段长度增加，圆锥段长度就会相应减少。随着首段长度的增加，立管在弯曲加强器中部的曲率和应力的极值点逐渐后移，但仍在弯曲加强器的有效作用范围，最大曲率及最大应力出现在弯曲加强器与立管连接处，随首段长度的增加略有增加。弯曲加强器的平均曲率随首段长度增加而减小，曲率应力曲线平缓，立管抗疲劳性能增加。

虽然增大弯曲加强器首段长度能减小立管的曲率，但同时增加成本。因此，在工程实际中应根据实际需要，合理选择两段长度比例。

图7 首段长度对立管性能的影响Fig.7 Influence of the length of the first segment on the performance of the riser

3.2 弯曲加强器厚度的影响

三段式弯曲加强器首段与浮式平台相连，在其他参数保持不变的情况下，弯曲加强器首段外径D2在0.35～0.4 m内进行改变。增大三段式弯曲加强器的首段厚度改变了圆锥段斜率，对弯曲加强器的防弯效果影响较大。

由图8(a)及图8(b)可知，随着弯曲加强器首段厚度的增大，弯曲加强器与立管上部固定端的曲率应力值均在减小，弯曲加强器的最大曲率与最大应力随外径的增大而增大，出现在2.4 m处，位于弯曲加强器中部，弯曲加强器有效地遏制了立管的过度弯曲及应力集中。

图8 厚度对立管性能的影响Fig.8 Influence of thickness on the performance of the riser

三段式弯曲加强器的自由端外径大小对弯曲加强器对立管的性能影响不大，在进行弯曲加强器的非线性参数敏感性分析中不予考虑。

3.3 弯曲加强器立管间隙的影响

三段式弯曲加强器与立管的组合中，立管外径相对于弯曲加强器内径略小，两者之间的间隙G对弯曲加强器对立管的作用有一定影响。改变弯曲加强器和立管之间的间隙，其厚度不变，对立管性能的影响如图9(a)与图9(b)所示。

改变弯曲加强器与立管之间的间隙大小，相对于其他几何参数，立管的曲率和应力出现了较大差异。随着弯曲加强器与立管之间间隙的增大，立管曲率及应力的变化趋势较大，不再平缓，立管的抗疲劳性能下降，同时，立管的最大曲率出现在弯曲加强器与立管连接处，间隙宽度每增长5 mm，最大曲率增加8%左右，立管的最大应力出现在弯曲加强器中部，且逐渐增加，但弯曲加强器与立管连接处的应力也随间隙的增大而增大，逐渐接近最大应力，容易发生应力集中。

综上，弯曲加强器与立管之间的间隙大小对立管的曲率与应力有着较大影响，在实际工程设计中应予以考虑。

图9 间隙对立管性能的影响Fig.9 Influence of interval size on the performance of the riser

4 结论

(1) 在进行弯曲加强器-立管系统设计和分析时，考虑材料非线性、几何非线性和接触非线性能更精确描述系统的力学行为，结果与以往采用简化线性模型有明显区别，在结构设计时应充分考虑。

(2) 在三段式弯曲加强器总长度及自由段长度不变的情况下，首段长度的增大能有效缓解弯曲加强器与立管连接处的应力集中，曲率与应力曲线的极值点位置随着首段长度的增大逐渐后移，考虑工程中的经济需求，应合理选择长度比例；弯曲加强器与立管连接处的曲率及应力随弯曲加强器首段厚度的增加而逐渐减小，最大应力始终在弯曲加强器中部，适当增加弯曲加强器的厚度有利于充分发挥弯曲加强器的防弯效果；弯曲加强器与立管之间的间隙对立管的曲率与应力有较大影响，间隙越大，立管的最大曲率与最大应力越大，且发生在立管连接处，此处易发生应力集中，曲率应力曲线相对不平缓，立管抗疲劳性降低。

(3) 工程设计中可参考弯曲加强器非线性参数敏感性分析结果，以减少弯曲加强器体积为目标函数，以曲率应力值为约束条件，建立优化模型，使其在保证立管正常作业的同时降低成本。