带变量核的分数次积分交换子的弱Hardy估计

杨旭升，王素萍

(1.兰州文理学院 教育学院，甘肃 兰州 730000;2.陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

记Sn-1为Rn(n≥2)中的单位球面，其上装备了Lebesgue 测度dσ=dσ(z′) .设定义在Rn×Rn上的函数Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1), 满足

(1)

其中:z′=z/|z|,∀z∈Rn{0}.

设Ω(x,z)满足条件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),∀x,z∈Rn,λ>0

(2)

与消失条件

(3)

众所周知，分数次积分算子是调和分析中以偏微分方程为背景的一种重要算子，拉普拉斯方程的解可以用分数次积分算子来代替.分数次积分算子Iα定义如下

(4)

文献[1] 证明带粗糙核的分数次积分交换子在加权Lp空间上的有界性，文献[2]证明带粗糙核的高阶交换子在齐次Herz空间上的有界性.有关积分交换子的相关结果见文献[3-5].

(5)

设k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1,并记χk=χCk为集Ck的特征函数.

定义1设Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1),它的q阶积分连续模ωq(δ)定义为

定义2(Lq-Dini条件) 设Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lq(Sn-1)(q≥1),ωq(δ)为Ω(x,z)关于z′的q阶积分连续模，称Ω(x,z)满足Lq-Dini条件，如果

1 定理证明

‖IΩ,α(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

证明由已知条件，先考虑

由引理1可得

定理的证明取k0∈Z,固定λ>0,使得

2k0≤λ<2k0+1,

其中

满足引理3中条件(a), (b)和(c).

由Minkowski 不等式,有

从而有

现在估计E2,由引理3，4及Minkowski 不等式，有

其中

为估计E2,先估计F1，有

由引理2，有

定理证毕.