一个开放问题的探究

江苏省姜堰中等专业学校 (225500) 陈 宇

已知a,b,c∈R+,当λ与μ满足什么条件时，如下不等式成立：

笔者将主要依据分类，换元，特殊化与一般化及排除等思想方法解答这个问题.

解：由不等式(1)成立，可知μ+λ>0,则λ与μ存在下列四种关系：

(1)μ≥λ>0，(2)μ>0≥λ,(3)λ>μ≥0，(4)λ>0>μ.

当a=b=c>0时，不等式(1)成立,只需μ+λ>0，与μ，λ的大小无关.

当a，b，c不全相等时，∵不等式(1)两边循环对称，不妨设0

同理，当λ=0时，有μ>0.

当λ,μ>0时，不等式(2)显然成立,从而μ+λ>0，且与μ，λ的大小无关.

当λ<0时，不等式(2)有解集当且仅当Δ=4(μ+λ)(μ-λ)>0⟹μ>0>λ.

当λ>0,μ<0时，不等式(2)有解集，则Δ=4(μ+λ)(μ-λ)<0⟹μ<0<λ.

依次对应取m=a,b,c，n=b,c,a即得

∵当x>1,y≥1时，有(x6y4-1)+x2y2(x2y2-1)+2xy(x4y3-1)>0,从而(4)不成立.故λ>μ>0时不等式(3)不成立.

若λ>μ=0，由上可得λ[(x6y4-1)+x2y2(x2y2-1)]=0同样矛盾.

当λ>0,μ<0时，-2xy(1-x4y3)=

综上可知：不等式(1)成立.

①当且仅当正实数a=b=c时，等号成立.此时，λ与μ满足条件μ+λ>0；

②正实数a,b,c不全相等时，(ⅰ)λ与μ满足条件μ+λ>0，且μ≥λ>0；或μ>0≥λ；(ⅱ)λ=2μ>0.

笔者能力所限，只能求出本文所列“μ与λ满足条件”.期待有兴趣的读者给出更宽的条件.