π的数学之美

2020-05-29 08:18耿柳
理科爱好者(教育教学版) 2020年1期
关键词:圆周率

【摘 要】本文阐述了π的精妙发现,并利用泰勒展开式给出了π的无理性证明,旨在借助数学之美激发学生探索数学的兴趣。

【关键词】泰勒展开式;圆周率;无理数

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437(2020)04-0017-02

1   π的发现

数学中把圆的周长与直径的比值定义为圆周率,并用希腊字母π表示。早在公元前200年,阿基米德就用迭代算法与大、小两个方向上数值逼近的方法,理论上得到了圆的周长,给出了π的求法,称得上是“计算数学”的鼻祖。公元263年,我國数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”这提供了求圆周率π的科学方法。

但是,以上都是用近似逼近的方法求得π的数值,纵观数学的历史长河,会发现一个有趣的故事——布丰投针问题。法国数学家布丰有一天邀请许多亲朋好友到家做客,他先取一张白纸,在上面画上许多条距离为的平行线铺在桌上,然后请客人把一根长度为的针随机地扔向白纸,布丰在旁边记录了2212次,发现共有704次针与平行线有交点,而且,他还断言,扔的次数越多,相交数与投掷数之比越接近π。这个实验让人惊讶,看起来毫不相关的圆周率在投针试验中竟然有所体现[1-3]。其实,这里运用到了几何概率的知识,这是用偶然性方法来做定性计算的典型范例,充分体现了数学的美丽与奇特。就像美国数学家维纳所说:“数学实质上是艺术的一种。”

2   预备知识

2.1  无理数和反证法

无理数是指不能写作两整数之比的数。大多用反证法,即假设它可以表示成分数,但是推出矛盾,从而证明假设不成立。

2.2  连分数

步骤3:由于,1不是无理数,所以不能写为分数形式,即不是有理数,故π是无理数。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(下)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]陈景润.初等数论.1[M].北京:科学出版社,1978.

【作者简介】

耿柳(1993~),女,汉,江苏徐州人,硕士,助教,研究方向:数学与应用数学。

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