一道合情推理的三角恒等式变式的探究

1.变式呈现

试题：观察下列等式：

2.证法探究

证明：设A0,A1,…,An-1是复平面单位圆上的n个等分点,有…,n-1)。与A0,A1,…,An-1对应的复数z0,z1,…,zk-1是方程zn-1=0的n个根,显然有(z-z0)(z-z1)(z-z2)·…·(zzn-1)=zn-1。当z≠z0时有(z-z1)(z-在上式中,令z→z0,并利用洛必达法则,就得到|z0-z1||z0-z2|·…·|z0-zn-1|=

3.触类旁通

那么对于其他的三角恒等式的三角函数有没有类似①式的恒等式呢? 经探究有如下结论

证明：由①可知有上面两式相除,就得到

证明：设由③可知所以

4.进一步探究

以上各个恒等式左边的角的分母都是奇数,那么当分母为偶数时,会有什么样的结果呢? 笔者对此进行探索,给出

证明：由②可知有

例如：当n=1时,有当n=2时,有当n=3 时,有当n=4 时,有当n=5时,有

证明：设由①可知所以

证明： 由⑥可知

证明：由④可知有

利用以上方法及上述三角恒等式,还可以得到更多的相关三角恒等式,有兴趣的读者可继续研究。