化归思想方法在高中数学解题中的应用

山东省菏泽市山大附中实验学校 刘晓洁

一、掌握化归思想方法运用原则

由于数学化归的途径千变万化，没有固定的模式与方法可遵循，因而要运用好化归思想方法必须坚持如下原则：一是坚持简单化的原则。化归的目的在于使问题简单化，因而在运用化归思想时，首先要能使问题简单化，要把复杂问题的条件、解决方法、所求结论等尽可能简单化。二是坚持具体化的原则。在进行复杂抽象的问题转化时，要注重使问题具体化，避免抽象化，尽可能使用形象直观的语言、图形来表示复杂难理解的文字或数量关系。三是坚持标准化的原则。就是在使用化归思想方法时，应注重运用标准化的数学公式、定理、法则等，也要注重将复杂抽象的问题转化成标准的数学形式，有利于提高解题的规范性。四是坚持低层次化原则。就是在解决复杂问题时，应注重把高层次问题向低层次转化。如，把高维空间问题向低维空间转化，多元问题向单元问题转化等，这样才有利于问题的简单解决。

二、多种方式运用化归思想方法解题

（一）复杂问题向一般问题转化

在高中数学解题中，对于一些复杂、不易找到解题思路的问题，可运用化归的思想方法把复杂抽象的问题转化为一般的或简单的问题，就能快速找到解决问题的方法与思路，从而提高数学解题的效率。

例1：在数列{an}中，已知a1= 2，a2= 3，并存在如下关系式求此数列的通项公式an的表达式。

分析：通过对题目已知条件的分析可知，本题的递推公式是二次线性递推关系，直接求解该数列的通项公式比较困难，如果能将其转化成一般的基本数列问题来进行求解，就可使求解过程变得简单容易。为此可运用待定参数的方法来求解，可在下式：an+1-man=n(an-man-1)中引入m、n两个参数，这样就可使本题转化成了求公比q=n 的等比数列通项公式的问题。通过求解m、n 这两个待定参数，就可以求出该等比数列的通项公式，从而也就能容易求出数列的通项公式。

∵an+1-man=n(an-man-1)，

∴an+2=(m+n)an-1-mnan，与题目给出的已知条件相结合，就能得出求解可得出或an+2+

（二）代数问题向数形结合转化

在高中数学解题中，如果能利用数形结合的方法进行解题，就能借助于“形”的直观性使问题变得简单直观，容易找到解决问题的思路和方法，同时利用“数”的严谨性就能使问题求解更加精确，从而有利于提高解决问题的质量与效率。因此在运用化归思想方法进行数学解题时，要注重把代数或几何问题向数形结合的方向转化，这样能降低解题难度。

分析：对于本题直接运用代数的方法进行求解，将会使解题过程变得比较困难，如果把问题求解向代数与图形相结合的方法进行转化，就能使解题过程变得简单、直观。

在（1）中可运用如下方法求解：求函数的导数f'(x)=3ax2-b，根据题意得出可求出这样就可以容易得出函数解析表达式为

在（2）中可得出f '(x)=x2- 4=(x- 2)(x+ 2)，当f '(x)= 0时可得x= 2或x=-2，

列出x变化时的变化情况的表格：

x f '(x)f( )x(-∞，- 2)+单调递增-2 0 28 3(-2，2)-单调递减2 0 -4 3(-∞，- 2)+单调递增

结合右图的函数曲线，就可看出当x=-2，f(x) 有极大值当x=2，有极小值借助于图形，就容易求出实数k的取值范围是

（三）陌生方法向熟悉方法转化

在数学解题中，对于同一道题目可以运用多种方法进行解决，既可以运用一般的方法解题，也可以运用特殊的方法解题，可以采用把问题组合或分解的方法，也可以采用向同一个方向转化等方法，可根据自己熟悉的方法进行转化，只要在解题中选用自己熟悉的方法，就能快速有效解题。

例3：在⊿ABC 中，求证：a(cosB+ cosC) = 2(b+

分析：在本题解题中可利用正弦定理，把等式中“边”的问题转化成“角”的问题；也可以利用余弦定理把等式中“角”的问题转化成“边”的问题，学生只要根据自己熟悉的方法，把问题转化就可有效解题。

如利用正弦定理可按如下方法求解：等式左边=2RsinA(cosB+ cosC)这样

∴等式两边相等，可见在此题求解中通过运用熟悉的正弦定理，并且把等式两边分别化简都等于同一个中间值，使证明得到容易解决。

三、结语

化归与转化是高中数学最重要的解题思想方法，因此教师应在教学中注重对该思想方法的教学，让学生熟练掌握其运用原则与转化策略，可根据需要使用直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、参数法、类比法、特殊转化法、等价转化法等多种方法进行转化，加强数学解题中的多种转化方法训练，提高数学解题效率，从而有效提升学生的学习成绩。