直角坐标平面内两点在该平面折叠后的距离

张光俊

（金阳县初级中学，四川 金阳 616250）

在直角坐标平面xoy 内，对于两定点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，定直线l:Ax+By+C=0，若将平面xoy 沿直线l 折成大小为θ 的二面角，则折叠后P1，P2的距离应该是确定的，即应该可以用P1，P2的的坐标、l 的方程的系数以及θ 来表示，本文的研究目的就是寻求这样的表达.为此我们需要如下几个引理.

1 预备知识

引理1在直角坐标平面xoy 内，设点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，直线l:f(x,y)=Ax+By+C=0，

（i）若f(x1,y1)f(x2,y2)＞0，则P1、P2在l 的同侧；

（ii）若f(x1,y1)f(x2,y2)=0，则P1或P2在l 上；

（iii）若f(x1,y1)f(x2,y2)＜0，则P1、P2在l 的异侧.

证明：（ii）显然，（i）、（iii）证明类似，这里只证（iii）.

（iii）由f(x1,y1)f(x2,y2)＜0，则Ax1+By1+C 与Ax2+By2+C 异 号，不 妨 设Ax1+By1+C ＞0，Ax2+By2+C ＜0.

引理2设直角坐标平面xoy 内，直线l:Ax+By+C=0，直线l′⊥l，且l′过点P0(x0,y0)，则l′的方程是Bx-Ay-(Bx0-Ay0)=0.

证明：若l⊥x 轴，则B=0，A ≠0，由l′⊥l，故l′⊥y 轴，又l′过点P0(x0,y0)，故l′的方程是y=y0，即Bx-Ay-(Bx0-Ay0)=0.

若l⊥y 轴，则A=0，B≠0，由l′⊥l，故l′⊥x 轴，又l′过点P0(x0,y0)，故l′的方程是x=x0，即Bx-Ay-(Bx0-Ay0)=0.

引理3设直角坐标平面xoy 内两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0，则l1,l2间的距离为

证明：在l1上任取一点P0(x0,y0)，则Ax0+By0+C1=0，故Ax0+By0=-C1.又l1//l2，故l1,l2间的距离d 即点P0到l2的距离，所以

引理4[1]设二面角α-l-β 的大小为θ，点A ∈α，点B ∈β，AC⊥l 于C，BD⊥l 于D，如图1 所示，记AC=m，BD=n，CD=d，则

图1

证明：在β 内作BE//l，CE//DB，BE 与CE 交于E，则BDCE 为矩形，CE=DB=n，CE⊥l 于C，EB=CD=d，∠ACE 即为二面角α-l-β 的平面角，即∠ACE=θ，连接AE，故由余弦定理

AE2=AC2+CE2-2AC ⋅CEcosθ=m2+n2-2mncosθ，

又显然l⊥平面ACE，故EB⊥平面ACE，从而EB⊥AE，所以

注：引理4 的结论来源于文[1]，但这里的证明方法并不同于文[1].

2 主要结论

定理在直角坐标平面xoy 内，设点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，直线l:f(x,y)=Ax+By+C=0，将平面xoy沿直线l 折成大小为θ 的二面角，折叠前后P1，P2的距离分别记为|P1P2|和P1P2，则

（ii）当f(x1,y1)f(x2,y2)＜0 时，

（ii）当f(x1,y1)f(x2,y2)＜0 时，则由引理1，P1、P2在l 的异侧.为方便，以下所作图形都省掉坐标轴，图2 是折叠前，图3 是折叠后（用了两个半平面衬托），作P1M⊥l 于M，P2N⊥l 于N.

图2

图3

3 应用举例

例 在直角坐标平面xoy 内，已知点P(-1,3)，Q(2,1)，直线l:2x-y+2=0，PQ 交l 于R，将平面xoy 沿l 折成大小为θ 的二面角，使∠PRQ=1200，求θ.

解 记l:f(x,y)=2x-y+2=0，则f(-1,3)=-3 ＜0，f(2,1)=5 ＞0，由引理1 知P,Q 在l 的异测，则由定理可得折后

由余弦定理得而折后∠PRQ=120∘，