考研高等数学的重点内容和常见题型

戴立辉　黄锋

摘要：依照考研数学考试大纲[1]，对考研高等数学的重点内容和常见题型进行归纳、整理和总结，使其所涉及的各知识点之间相互关系清晰明了，可供学生考研复习高等数学以及教师进行高等数学课程教学时参考。

关键词：考研;高等数学;重点内容;常见题型

中图分类号：O13     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）16-0288-02

考研高等数学是考研数学重要组成部分之一，主要包括以下八方面内容[2]。在考研数学试卷中，高等数学占总分的56%或78%，题量大并有难度较大的题目，因此要求学生重点复习。

一、一元函数的极限与连续

包含一元函数及其特性、数列与函数的极限、函数的连续性三部分。主要讨论数列与函数的极限问题。

重点内容：①函数（函数的概念、函数的特性、函数的运算）;②极限（数列的极限、函数的极限、函数极限的运算法则和存在准则、无穷小及其比较）;③连续（函数的连续性与间断点、连续函数的运算、闭区间上连续函数的性质）。

常见题型：①求分段函数的复合函数;②直接计算给定函数的极限或给定极限值，反过来确定式子中的常数;③对无穷小（包括高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小特别是等价无穷小）进行比较;④讨论函数的连续性，判断函数间断点的类型;⑤讨论连续函数在给定区间的零点存在性。

二、一元函数微分学

包含一元函数的导数与微分、微分中值定理与导数的应用三部分。

重点内容：①函数导数与微分的概念，可导与连续的关系，函数的求导法则;②罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理与泰勒中值定理;③罗必达法则和泰勒公式，利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函數图形的凹凸性与拐点，曲线的渐近线，函数的最大、最小值，以及导数在经济领域的应用，如边际、利润、弹性等）。

常见题型：①利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性;②求给定函数的一阶或高阶导数及微分（用基本初等函数的导数或微分公式、导数的四则运算法则，求复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数等）;③利用罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理证明有关命题和不等式;④利用罗必达法则和泰勒公式求常见未定式的极限;⑤利用导数讨论方程在给定区间内的根的个数;⑥利用导数研究函数性态和描绘函数图形;⑦利用导数求解几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题等。

三、一元函数积分学

包含一元函数的不定积分、定积分、定积分的应用三部分。

重点内容：①基本积分公式表;②不定积分的换元积分法和分部积分法;③定积分的概念;④积分上限函数及其导数;⑤牛顿-莱布尼茨公式;⑥积分中值定理;⑦定积分的换元积分法和分部积分法;⑧反常积分的概念与计算;⑨定积分的应用。

常见题型：①计算函数的不定积分与定积分;②计算积分上限函数的导数及极限;③利用积分中值定理证明相关问题;④利用定积分求平面图形的面积、求平行截面面积已知的立体的体积、求旋转体的体积、求平面曲线的弧长;⑤利用定积分求变力沿直线所做的功、求水压力、求引力等物理量;⑥计算函数的反常积分（包含无穷限的反常积分和无界函数的反常积分）。

四、向量代数和空间解析几何

本章主要与多元函数微分学几何应用方面相关联，其基本知识在重积分和曲面积分中用到，在线性代数课程中也用到。

重点内容：①向量的概念，向量的几种运算：线性运算、数量积、向量积与混合积;②平面的各种方程，直线的各种方程;③直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的关系等。

常见题型：①求向量的数量积、向量积;②求平面或直线的方程;③求直线在平面上的投影直线的方程及投影直线绕坐标轴旋转一周的曲面方程。

五、多元函数微分学

包含多元函数的偏导数和全微分、多元函数的应用两大部分。

重点内容：①多元函数（如二元函数）的概念、极限与连续;②多元函数的偏导数和全微分;③多元函数微分在几何上的应用;④方向导数和梯度;⑤多元函数的极值和条件极值。

常见题型：①求二元函数的极限;②求多元函数的偏导数与全微分;③求复合函数的一阶、二阶偏导数;④求隐函数的一阶、二阶偏导数;⑤求空间曲线的切线与法平面方程;⑥求曲面的切平面和法线方程;⑦求多元函数的方向导数和梯度;⑧求多元函数的极值、最大值与最小值;⑨利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值。

六、多元函数积分学

包含二重积分、三重积分、曲线积分与曲面积分四大部分，是多元函数微积分学的重要内容，涉及三大类重要积分，应用面较广。

重点内容：①二重积分的概念、性质与计算;②三重积分的概念、性质与计算;③曲线积分的概念、性质与计算;④格林公式，平面上曲线积分与路径无关的充要条件，二元函数的全微分求积;⑤曲面积分的概念、性质与计算;⑥高斯公式与斯托克斯公式;⑦散度与旋度的概念及计算;⑧重积分、曲线积分、曲面积分在几何与物理上的应用。

常见题型：①利用直角坐标与极坐标计算二重积分;②利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分;③二重积分、三重积分在几何和物理上的应用，如求面积、体积、质量、重心坐标、引力等;④计算对弧长的曲线积分;⑤计算对坐标的曲线积分，格林公式及其应用;⑥计算对面积的曲面积分;⑦计算对坐标的曲面积分，高斯公式及其应用;⑧梯度、散度、旋度的综合计算;⑨利用重积分计算曲面的面积、物体的质心及转动惯量;{10}利用曲线积分求变力沿曲线所做的功。

七、无穷级数

包括常数项级数和函数项级数两部分，其中常数项级数又包括正项级数、交错级数和任意项级数，函数项级数则主要讨论了幂级数和傅里叶级数。

重点内容：①常数项级数的概念和性质，常数项级数的审敛法（正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛）;②幂级数的概念及其收敛性（收敛半径、收敛区间、收敛域），幂级数的运算（加法、减法、乘法和函数的性质），函数展开成幂级数;③傅里叶级数的概念，函数展开成傅里叶级数，正弦级数与余弦级数。

常见题型：①判别常数项级数的敛散性（利用级数的定义，利用级数的性质，利用几何级数，利用p级数，对正项级数利用比较法、比值法、根值法，对交错级数可用莱布尼茨判别法，利用级数的绝对收敛等）;②求幂级数的收敛半径、收敛區间、收敛域;③求某些幂级数的和函数（将级数通过代数运算、变量置换、逐项求导、逐项积分等手段化成已知和函数的级数，如几何级数，从而求得和函数）;④求某些常数项级数的和（由定义求部分和数列的极限，或将其看作某个幂级数或某个傅里叶级数在某点处的值，先求出该幂级数或傅里叶级数的和函数，再求出该常数项级数的和）;⑤将函数展开为幂级数（直接法和间接法）;⑥将函数展开为傅里叶级数，或展开成正弦级数与余弦级数。

八、微分方程与差分方程

包括微分方程与差分方程两个部分，微分方程是主要部分。

重点内容：①微分方程的概念;②可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程;③可降阶的高阶微分方程;④二阶常系数齐次线性微分方程、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;⑤欧拉方程;⑥差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程。

常见题型：①求可分离变量的微分方程的通解或特解;②求齐次方程的通解或特解;③求一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的通解或特解;④求可降阶的二阶微分方程的通解或特解;⑤求二阶常系数齐次线性微分方程的通解或特解;⑥求某些简单的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解或通解;⑦求欧拉方程的通解;⑧求一阶常系数线性差分方程的通解或特解;⑨用微分方程求解一些简单的应用问题（几何或经济问题）。

参考文献：

[1]教育部考试中心.全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2]同济大学数学系.高等数学（上下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

The Key Contents and Common Testing Types of Advanced Mathematics for Postgraduate Entrance Examination

DAI Li-hui，HUANG Feng

（Mathematics and Data Science，Minjiang University College，Fuzhou，Fujian 350108，China）

Abstract：This article generalizes and summarizes the key contents and common testing types of advanced mathematics for postgraduate entrance examination，according to the authorsmany–years teaching experience and mathematics examination outline for postgraduate entrance，which makes each branch easy and understandable.At the same time，it can be used as a reference for students to advanced mathematics reviewing，and also for teachers to advanced mathematics teaching.

Key words：postgraduate entrance examination;advanced mathematics;key content;common testing types