非概率可靠性在轴压柱加固评估中的应用

王敏容， 樊建平， 胡 隽

(1. 华中科技大学 土木工程与力学学院， 湖北 武汉 430074； 2. 五邑大学 土木建筑学院， 广东 江门 529020)

我国桥梁结构设计采用以可靠度理论为基础的概率极限状态设计方法，相应的桥梁维修和加固设计也应该建立在可靠度理论之上。贡金鑫[1]以增大截面法加固钢筋混凝土轴心受压构件为例，提出了结构加固后的可靠度分析方法，对以概率理论为基础的加固设计规范提供了一定的参考。杜斌[2]、黄炎生[3]、杨建江[4]等基于《混凝土结构设计规范》，对加固后的钢筋混凝土受压柱进行了概率可靠性分析。基于概率模型的可靠性分析需要足够的数据信息描述不确定参数的概率分布，不同的分布形式对可靠性指标存在较大的差异，而且概率可靠性对概率模型的参数变化很敏感，概率模型在缺乏足够的统计数据描述不确定参数时，计算结果不可靠。对于实际的结构构件，由于各种客观条件的限制，试验数据难以描述参数的某种概率分布，但参数的界限是确定的。1994年Ben-Haim[5,6]首次提出了基于凸模型的非概率可靠性概念，认为系统能容许不确定参量在一定范围内波动，则系统是可靠的。基于区间的非概率可靠性模型，将不确定参数的变化范围作为区间变量，对参数统计信息需求量少，为结构可靠性分析提供了新的途径。陈旭勇[7,8]、边晓亚[9]等采用区间模型对在役桥梁进行了非概率可靠性评估。本文以JTG/T J22-2008《公路桥梁加固设计规范》中增大截面法加固钢筋混凝土轴心受压构件为研究对象，将不确定参数描述为区间变量，建立应力-强度干涉非概率可靠性模型，以非概率可靠度度量可靠性，采用子集子区间抽样法计算非概率集合可靠度，并给出了计算步骤，最后以某钢筋混凝土轴压柱为例，验证了文中方法在桥梁加固中的合理可行性。

1 非概率可靠性分析

1.1 非概率可靠性模型

设结构的不确定参数x在区间内变化，其上、下界分别为xu，xl，则x∈XI=[xl,xu]为区间变量。对应的区间中点(均值)xc和区间半径(离差)xr分别为

xc=(xu+xl)/2,xr=(xu-xl)/2

(1)

对x作标准化处理

x=xc+xrδ

(2)

式中：δ∈[-1,+1]为标准化区间变量。

将工程结构中的抗力R和荷载效应S作为区间变量，标准化后功能函数为

M(R,S)=R-S=Rc-Sc+RrδR-ScδS

(3)

式中：Rc和Sc分别为抗力和强度的均值；Rr和Sr为抗力和强度的离差；δR∈[-1,+1]和δS∈[-1,+1]分别为标准化抗力区间变量和标准化强度区间变量。R∈[Rl,Ru]和S∈[Sl,Su]为抗力和强度的区间，l和u分别为对应区间变量的下界和上界。

基于区间模型的非概率可靠性指标η，将结构参数波动的范围与其要求变化范围相比较，按无穷范数‖·‖度量的从坐标原点到失效面上的最短距离来确定结构的安全可靠程度[10，11]：

η=min(‖δ‖

(4)

当η>1时，Rl>Su，结构的失效域与基本区间变量的波动范围不相交，结构安全可靠；当η<-1时，Ru

1.2 应力-强度干涉模型集合可靠度

文献[12，13]将失效应力小于强度的可能性度量称为非概率集合可靠度，提出以结构安全域体积与基本区间变量域的总体积之比作为结构非概率可靠度的度量。采用区间变量描述不确定参数，参数在区间内取值的可能性是相同的，从概率的意义可认为它们在区间内服从均匀分布。因此，非概率集合可靠度与概率可靠度有相同的意义，均表征结构完成预定功能的概率，以可靠度度量结构的可靠性。

《公路工程结构可靠度设计统一标准》[14]中规定了桥梁结构的目标可靠指标，桥梁结构设计和校核时，构件必须达到或高于目标可靠指标，概率和非概率模型评估的桥梁结构均应满足目标可靠指标要求的可靠度。因此，应力-强度干涉模型，对比桥梁结构的非概率集合可靠度与概率目标可靠指标要求的可靠度，则可对结构的可靠性做出定性的评估。

采用类似概率可靠性中的蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation，MCS)法，在不确定区域内抽样，计算失效概率Pfailure。可以通过抽样点落在失效域内的点数除以不确定域内抽样总点数的比值来代替失效域体积与不确定域总体积比，以此求出非概率可靠性集合可靠度Prest，表示为

Prset=1-Pfailure

(5)

(6)

式中：V失效域和V总分别为失效域体积和不确定域总体积；N失效域和N总分别为失效域内失效点数和不确定域内总抽样点数。

实际工程结构的失效概率是一个小量值，失效域占基本变量标准域的比值非常小，直接抽样的样本点落入到失效域内的样本点很少。采用直接抽样的MCS法需要有足够的样本点才能保证计算精度，计算效率很低。通过改变随机抽样区域，使样本点有较多机会落入失效域，增加功能函数G(δi)<0的机会。

2 基于子集子区间法(SSS)的非概率集合可靠度

(7)

图1 子集内的子区间抽样

第k个子区间可表示为：

j=1,2,…,n,k=1,2,…,K

(8)

同理可得δri方向的各边界点为

(9)

δri方向的第k个子区间可表示为：

i=1,2,…,m,k=1,2,…,K

(10)

(11)

(12)

由子区间端点函数的取值，子区间可以分为以下三种模型：

(1)若Gmax>0，则子区间安全可靠，Prset=1；

(2)若Gmax≤0，则子区间失效，Prset=0；

(3)若Gmax≥0且Gmin<0，则子区间为干涉区间，0

(13)

(14)

由式(11)和(13)，(12)和(14)可知，相邻子区间的端点值存在交叉，即

G((δrik)I,(δsjk)I)∩G((δrik+1)I,(δsjk)I)≠0

(15)

为避免重复抽样，因此，在整个子域内，直接利用子区间端点值G(δi)的正负来判断抽样点是落在安全域或失效域，抽样点直接采用区间端点代替。

子集内子区间抽样法的具体计算步骤如下：

(16)

沿轴δri方向的边长li为

(17)

抽样域体积

(18)

(3)计算子区间抽样域占标准化基本变量域的比值P1为

(19)

(4)将δri和δsj的取值区间分别均分为K等分，分别得到K+1个边界点和K个子区间，抽样域D划分为Km+n个小等超长方盒、(K+1)m+n个端点，提取(K+1)m+n个端点的函数值，计算满足G(δi)<0的点数M，则失效可能度P2为

(20)

(5)非概率的集合可靠度表示为

(21)

相比于直接MCS抽样，子集子区间抽样法样本点分布均匀，落入失效域的抽样点更多，计算精度更高。等分数K的具体取值由区间参数的分布范围和求解精度来决定。

3 算 例

图2 钢筋混凝土轴心受压柱/mm

在加固前轴向力作用下，构件达到极限承载能力状态时，新加混凝土和钢筋均达到极限强度。加固后的钢筋混凝土轴心受压柱的抗力为：

选取混凝土和钢筋的强度、面积及恒载、汽车荷载效应共10个不确定参数，为对比概率可靠性和非概率可靠性结果，以下计算根据《公路工程结构可靠度设计统一标准》确定各参数的统计参数，由[μ-3σ,μ+3σ]获得参数区间。

3.1 不同计算方法下的可靠度分析

假定活载和恒载比值为ρ，定义为ρ=SQk÷SGk，SGk，SQk分别为加固后恒载和活载的标准值。取轴向力组合设计值1700 kN，荷载比ρ=1.25时，相同的抽样点数N=9765625，采用直接的MCS抽样、子集内MCS抽样法(SS-MCS)和子集子区间抽样法(SSS)(抽样N=4)，分别计算落入失效域内的点数Nf和失效可能度Pf，计算结果见表1所示。直接MCS法落入失效域的抽样点最少，失效可能度精度最低。子集抽样法落入失效域内的点数大于完整区间内，且子集子区间法抽样落入失效域内的点数大于子集内MCS抽样，结构可靠性评估更保守。

表1 不同计算方法的失效可能度

3.2 不同轴向力组合设计值下的可靠度分析

取荷载比ρ=1.25，随着轴向力的增加，荷载效应区间上限和下限值逐渐增加，钢筋混凝土柱的可靠性逐渐降低，结果见表2所示。非概率可靠度计算结果比概率可靠度保守，可靠度均随着轴向力组合设计值的提高而降低。当轴向力组合设计值取1300，1500 kN时，Rl>Su，抗力和荷载效应不发生干涉，钢筋混凝土柱可靠，与概率可靠度评估结果相同。当轴向力组合设计值取1700，1900 kN时，Sl

表2 不同轴向力组合设计值下的可靠度

3.3 不同加固混凝土层厚下的可靠度分析

仍取轴向力组合设计值1700 kN，计算荷载比ρ=1.25时，分别采用70，80，90，100，110 mm厚新增混凝土层加固钢筋混凝土柱，加固后的计算结果见表3所示。表3反映出非概率可靠度计算结果同样比概率可靠度保守，且加固后的钢筋混凝土柱均能满足桥梁二级结构延性破坏的要求。不同新增混凝土层厚对非概率可靠度的影响比概率可靠度大，可靠度均随着混凝土层厚的增加而增加。混凝土层厚增加，钢筋混凝土柱的抗力增加，抗力和荷载的干涉区间减小显著，非概率可靠度增加明显。概率可靠度中，当结构可靠度指标β>6，失效概率pf<9.8×10-10较小时，参数变化对可靠指标影响不明显。

表3 不同新增混凝土层厚下的可靠性

3.4 不同新增钢筋直径下的可靠度分析

表4 不同新增钢筋直径下的可靠性

3.5 抗力不同概率分布下的可靠度分析

取轴向力组合设计值1700 kN，计算荷载比ρ=1.0，1.25，1.5时，若考虑抗力服从正态分布和对数正态分布两种情况，其均值和变异系数保持不变，概率模型的可靠度和非概率模型的集合可靠度计算结果如表5所示，非概率可靠度计算结果仍比概率可靠度保守。抗力服从正态分布时，概率可靠度随着荷载比的增加而增加，变化趋势与非概率模型相同，而抗力服从对数正态分布时，可靠度随着荷载比的增加而减小。两种不同分布类型的抗力，概率可靠度的差别较大，即概率可靠度对抗力的概率分布类型较敏感。在概率可靠性分析中，近似认为抗力服从对数正态分布，而非概率模型用区间描述抗力的范围，与抗力的概率分布类型无关。

表5 抗力不同概率分布下的可靠度

4 结 论

本文以增大截面法加固钢筋混凝土轴心受压构件为研究对象，对不同参数下的加固构件进行非概率可靠性和概率可靠性分析，得到如下结论：

(1)针对直接MCS抽样效率低的问题，采用子集抽样域并划分为子区间，以子区间端点作为抽样点，有效地解决了抽样点在区间均匀分布的问题，实例表明了该方法的有效性与合理性。

(2)概率可靠性模型和不确定参数的分布类型有关，而区间非概率模型中不确定参数在区间均匀分布，非概率可靠性比概率可靠性保守。

(3)不同加固混凝土层厚和钢筋直径，对非概率可靠性和概率可靠性的影响规律相同。

(4)概率可靠度对不确定参数的概率统计分布较敏感，但非概率集合可靠度不需要确定概率统计分布类型。当不确定参数的信息较少时，根据现场的实测数据确定不确定参数的区间，采用非概率可靠性模型给加固后桥梁构件进行可靠性评估提供一条新的途径。