考虑土性参数空间变异性的桩基可靠度分析

王景梅， 谢 平

(1. 广东交通职业技术学院 土木工程学院， 广东 广州 510650； 2. 香港城市大学 建筑学及土木工程学系， 香港 999077；3. 华中科技大学 土木工程与力学学院， 湖北 武汉 430074)

土性参数是岩土可靠度分析和设计所需的必要信息，而土体是一种天然材料，受复杂地质成因影响，土性参数值随着空间位置的变化而不同，呈现出较强的空间变异性[1,2]。土体固有空间变异性是岩土工程不确定性的一个主要来源，对深基础等岩土结构设计影响非常大[3～7]。袁葳等[4]采用Karhunen-Loeve级数展开方法研究土体内摩擦角和黏聚力的空间变异性对边坡稳定性的影响；郭重阳等[5]提出了一种考虑空间变异性条件下的边坡稳定可靠度敏感性分析方法；郑栋等[6]研究了土体参数空间变异性对边坡失效模式间相关性及系统可靠度的影响；李典庆等[7]分析总结了不考虑和考虑土性参数空间变异性的4类典型土坡可靠度问题。但目前多数考虑土性空间变异性的研究是采用间接近似的隐式模型模拟土性空间变异性，采用直接明确的显式模型模拟土性空间变异性的研究较少。等效方差折减法是现有岩土工程可靠度设计中普遍采用的一种间接近似考虑土性空间变异性的隐式模型[1,8～13]，不用直接离散和模拟随机场，是一种简化的近似随机场模型。闫澍旺等[9]应用相关函数法计算试验场地典型土层的相关距离值，将改进后的方差折减方法应用于计算天津临港地区码头工程稳定性；张亚楠等[10]利用方差折减法模拟土体空间变异性、并将其应用于浅基础可靠度分析中；舒苏荀等[11]将方差折减法模拟土性参数空间变异性用于边坡模糊随机可靠度分析；蒋水华等[12]采用多重响应面法开展了考虑参数空间变异性的边坡可靠度分析研究；邓志平等[13]结合Kriging方法开展了考虑参数空间变异性的边坡可靠度分析研究。

等效方差折减法间接地用一个折减系数将土的“点”变异性与空间变异性联系在一起，虽然它是一种简化的近似随机场模型，然而并没有直接明确表征土体空间变异性。近年来，Wang等[14～16]提出了一种基于蒙特卡洛模拟的可靠度设计方法，该方法中岩土不确定性的模拟和算法对设计者来说透明易懂，并且土体参数空间变异性的特征可以直观地用随机场理论模型来模拟。

综上，本文将基于蒙特卡洛模拟的可靠度设计方法与随机场理论相结合，采用随机场法直接明确地模拟土性参数空间变异性，应用该方法对欧洲规范设计过的一个钻孔桩实例进行重新设计，并分析土性参数空间变异性对钻孔桩可靠度设计的影响。最后，再采用等效方差折减法间接近似地模拟土性参数空间变异性，分析并比较两种不同空间变异性模拟方法(随机场法显式模型和等效方差折减法隐式模型)对钻孔桩可靠度设计的影响。

1 土性参数空间变异性的模拟

1.1 随机场方法模拟空间变异性

本文采用随机场理论[17]模拟土性参数有效内摩擦角φ′的空间变异性。对于某一均质砂土层，有效内摩擦角φ′的空间分布假定为一维平稳高斯随机场，不同深度位置的φ′表示成一系列服从对数正态分布的相关随机变量，其波动范围为λ、相关函数为M。相关函数有多种形式，常用的有指数型、三角型、二阶自回归、高斯型等。本文假设随机场的相关函数为指数型，钻孔桩所在土层为一维均质土层，采用一维对数正态分布随机场φ′(zi)来模拟土体的有效内摩擦角φ′随深度变化的固有空间变异性[16,18]，见图1，其中zi表示土体的深度，φ′的平均值、标准差及变异系数分别用μφ′，σφ′，COVφ′表示，COVφ′=σφ′/μφ′。深度zi处的lnφ′(zi)与深度zj处的lnφ′(zj)的相关系数ρij用下式表示。

ρij=exp(-2|zi-zj|/λ)

(1)

式中：λ为波动范围。从式(1)可以看出，当|zi-zj|≥λ，ρij小于0.135，lnφ′(zi)与lnφ′(zj)是近似不相关的；当|zi-zj|远小于λ时，lnφ′(zi)与lnφ′(zj)高度相关。

(2)

(3)

(4)

(5)

随机场模拟土性参数固有空间变异性是一种非常直接明确的显式概率模型，但目前岩土可靠度领域中采用随机场模拟空间变异性的研究仍然偏少，多数情况下是应用等效方差折减法模拟土性参数空间变异性，等效方差折减法间接地用一个折减系数把土的“点”变异性与空间变异性联系在一起，是一种间接近似的隐式概率模型。本文在采用随机场模拟土性参数空间变异性的同时，也将采用等效方差折减法模拟空间变异性，然后对两种不同模拟方法的设计结果进行对比分析与相互验证。

1.2 等效方差折减法模拟空间变异性

等效方差折减法认为，由于土体每一点性质不一样，所以土体在某一区域内的空间平均性质也不一样，土体的空间平均性质的变异性总是小于土体的点变异性。假设Δz深度范围内土体的空间平均性质为xa，则xa的均值和方差可以按式(6)(7)估算。

μxa=μx

(6)

(7)

(8)

(9)

图2 ΓΔz的两种计算公式比较

钻孔桩总承载力由侧向抗力Rs和底部抗力Rb两部分组成，Rs和Rb的土体影响区域见图3。Rs的抗力来源是桩周土体，故Rs的影响区域长度Ds=D。Rb的抗力来源不仅仅是桩底土，而是桩底部以上D1与桩底部以下D2范围的土体，本文Rb的影响区域长度Db取桩底部以上8B(D1=8B)与桩底部以下3.5(D2=3.5B)范围的土体，其中B为桩径。当8B>D时，D1取为D，即D1=min(8B,D)，则Db=min(8B,D)+3.5B。

(10)

(11)

(12)

图3 桩基承载力的土体影响范围示意

2 基于MCS的可靠度分析方法

桩基础可靠度设计就是在满足可靠性和经济性的前提下设计桩基础的几何尺寸参数的一个过程。对于圆截面桩来说，桩径B和桩长D是桩基可靠度设计中的几何尺寸设计参数。不同的B和D组合值设计方案都可以计算其失效概率值。对于给定的一组B和D值，其对应失效概率表示为p(Failure|B,D)。当p(Failure|B,D)≤pT(pT为目标失效概率)时，桩基础设计方案满足要求，当p(Failure|B,D)>pT时，桩基础设计方案不满足要求。桩径B和桩长D均采用均匀分布离散型随机变量来表示，且二者相互独立。计算每一组B和D组合设计方案的条件失效概率，当p(Failure|B,D)≤pT时的设计方案就是满足可靠性要求的设计结果。根据贝叶斯理论[14]，p(Failure|B,D)的计算公式如下：

(13)

式中：p(Failure)为蒙特卡洛模拟过程中所有桩基础设计随机事件的失效概率；p(B,D|Failure)为随机事件失效前提下某一个B和D设计组合值的概率；p(B,D)为某一组B和D设计组合值出现的概率，由于随机变量B和D是相互独立的，所以p(B,D)为：

p(B,D)=1/(nBnD)

(14)

式中：nB和nD分别为桩基础设计过程中桩径B和桩长D的总数量。

基于MATLAB软件，一次蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation, MCS)计算就可以直接求出p(B,D|Failure)和p(Failure)。假设桩基础荷载F和土内摩擦角φ′采用的是对数正态分布函数，基于MATLAB软件，根据各参数的概率分布函数类型生成n组随机样本值，并计算桩基础荷载F和承载力R，比较二者大小，其中F>R的事件就是失效样本。基于所有失效样本，p(B,D|Failure)和p(Failure)可按式(15)(16)统计分析得到。

p(Failure)=nf/n

(15)

p(B,D|Failure)=n1/nf

(16)

式中：n为MCS的样本总数；nf为MCS样本中失效样本的数量；n1为某一组B和D值对应的失效样本的数量，B和D共有nBnD个组合值。将式(14)～(16)代入式(13)可得：

p(Failure|B,D)=(n1nBnD)/n

(17)

基于以上公式，通过一次MCS模拟就可以直接求出桩基础设计的p(Failure|B,D)，比较p(Failure|B,D)和目标失效概率pT即得到一系列可行设计方案。假设桩基础的施工方法等其他方面都一样，那么桩的造价就是由单位体积决定的，即桩径B相同的情况下，最小桩长(Dmin)是最终设计方案。

3 设计步骤

如图4所示，本文采用的考虑土性参数空间变异性的桩基可靠度设计主要包括以下步骤：

图4 设计流程

(1)建立桩基础稳定性分析确定性计算模型，分析计算桩基础荷载F和承载力R。

(2)选定设计参数和不确定性参数，建立各参数不确定性分析模型，模拟岩土相关不确定性，如荷载、土性参数等不确定性。设计参数B,D采用离散型均匀分布，土性参数φ′采用对数正态分布、并考虑其空间变异性，其他不确定性参数采用正态分布表征。

(3)基于MATLAB软件，执行MCS，产生n组随机样本，并计算每组随机样本对应的F和R，判断失效事件是否发生。统计各个设计方案对应失效样本数n1，根据式(17)计算p(Failure|B,D)。

(4)可靠性筛选，比较p(Failure|B,D)与pT，确定一系列初步设计结果，其中造价最低的方案为最终设计结果。

4 算 例

本文采用的钻孔桩案例来源于文献[21]，如图5所示，该钻孔桩按照欧洲岩土规范(Eurocode 7)进行设计，桩位于均质砂土中，截面形式为圆形，直径等于0.6 m，土体有效粘聚力c等于0，有效内摩擦角φ′等于35°，有效重度γ等于21 kN/m3，标准贯入值N等于25。地面以下2 m处有地下水。钻孔桩轴向荷载分别为：永久荷载G等于1200 kN，可变荷载Q等于200 kN，桩体重度γc等于24 kN/m3。桩径B和桩长D是该桩基的设计参数。扩展可靠度设计法设计本钻孔桩案例时，其目标失效概率按照欧洲规范取值(即pT=7.2×10-5)，该钻孔桩的桩长设计结果是17.2 m(对应B=0.6 m)[22]。但是，文献[22]中只是采用一个单一的随机变量来模拟土性参数φ′，土性参数的空间变异性并没有明确表征出来。故本文提出考虑土性参数空间变异性的桩基础可靠度设计方法，对本钻孔桩案例进行重新设计分析。

图5 钻孔桩算例

4.1 确定性计算模型

为了与欧洲岩土规范(Eurocode7)和文献[22]中桩基础计算结果进行比较分析，所以桩基础稳定性分析的确定性模型与文献[21,22]完全一致。如图5所示，将影响桩承载力的土体分为Nt个0.4 m厚的土层，钻孔桩位于上面Ns个土层中，其中Ns等于桩长除以土层厚0.4 m(即Ns=D/0.4)。桩基础的荷载F和承载力R的计算过程见式(18)(19)。

F=G+Q

(18)

R=Rb+Rs

(19)

式中：G为永久荷载；Q为可变荷载；Rb和Rs为桩底和桩侧抗力值，分别按式(20)(21)计算。

Rb=Abqb

(20)

Rs=Asqs

(21)

式中：Ab，As为桩底和桩周面积；qb，qs为桩底和桩侧承载力，分别按式(22)(23)计算。

qb=σ′V0Nq

(22)

qs=0.5(1-sinφ′)σ′V0tanφ′

(23)

Nq=[tan2(π/4+φ′/2)]exp (πtanφ′)

(24)

式中：σ′V0为桩底竖向有效应力；Nq为承载力系数，Nq按式(24)计算[23]。当桩基础荷载大于其承载力(即F>R)时，桩基础失稳，这就是蒙特卡洛模拟的失效事件。

4.2 不确定性模拟

另外，桩长D和桩径B均为离散型均匀分布随机变量；D的设计范围是[8，20] m，以0.4 m为间距离散为31个可能值(即nD=31)；B的设计范围是[0.4，0.8] m，以0.2 m为间距离散为3个可能值(即nB=3)。本项目的所有随机变量取值情况见表1。

表1 随机变量的取值汇总

4.3 MCS

4.4 设计结果

图6是λ=+∞情况下钻孔桩MCS后统计分析所得的p(Failure|B,D)计算结果。图中水平轴表示桩长D，竖向轴表示p(Failure|B,D)，共包含了B=0.4，0.6，0.8 m三种情况的桩长设计曲线，由图6可见，B值固定时，D值越大p(Failure|B,D)越小。图6中水平实线代表欧洲规范中的目标失效概率pT=7.2×10-5，在这条水平实线以下的桩长就是本算例的初步设计结果，即初步设计方案为D≫20 m(B=0.4 m)、D≥17.2 m(B=0.6 m)和D≥11.6 m(B=0.8 m)；其中B=0.4 m的设计桩长超出了本文8～20 m的桩长设计范围，故此处不做讨论。

图6 条件失效概率计算结果(λ=+∞)

基于经济性要求，桩径相同的情况下，最短的桩造价最低，故在一系列桩基础初步设计结果中，B=0.6 m的最终设计桩长为17.2 m，B=0.8 m的最终设计桩长为11.6 m。

4.5 结果对比与验证

文献[22]采用单一随机变量来模拟本算例中φ′的不确定性，对B=0.6 m的情况进行可靠度设计与分析，其计算结果见图7中的实线。图7中的虚线是本文采用一维随机场模拟φ′，B=0.6 m，λ=+∞的计算结果。由图可见，两计算曲线基本重合，二者的计算结果是一致的，这主要是因为λ=+∞的情况就等同于采用单一的随机变量来模拟φ′，也就相当于是文献[22]的模拟情况。本文λ=+∞情况下的计算结果与文献[22]完全吻合，由此可见，本文采用随机场模拟土性参数φ′空间变异性的可靠度设计方法具有有效性和合理性。

图7 条件失效概率计算结果(B=0.6 m)

5 随机场法模拟空间变异性的影响

为了分析土性参数空间变异性对桩基础可靠度设计的影响，随机场方法模拟中的波动范围λ的取值从0.4 m变化至+∞，共计算了λ=0.4，1，2，4，8，16，32，64，128，256 m和+∞共11种情况下的条件失效概率，每一个λ值进行一次样本数为100000000的MCS。每执行一次MCS，通过公式(13)～(17)可计算出该λ值对应的条件失效概率。

图8包含了λ=8 m和λ=+∞两种情况的钻孔桩可靠度设计的条件失效概率结果。λ=8 m时，B=0.4，0.6，0.8 m的计算结果分别用含实心矩形标记、实心圆形标记和实心三角形标记的实线表示。λ=+∞时，B=0.4，0.6，0.8 m的计算结果分别用含空心矩形标记、空心圆形标记和空心三角形标记的虚线表示。将六条计算结果线与目标失效概率(pT=7.2×10-5)相比较，即可得桩基础初步设计结果。由图8可知，λ=8 m时桩基础设计结果为D>20 m(B=0.4 m)，D≥14 m(B=0.6 m)，D≥8.8 m(B=0.8 m)；λ=+∞时桩基础设计结果为D≫20m(B=0.4 m)，D≥17.2 m(B=0.6 m)，D≥11.6 m(B=0.8 m)。λ=8 m(考虑空间变异性)和λ=+∞(不考虑空间变异性)两种情况的桩基础设计结果相差很大，这说明土性参数空间变异性对桩基础设计结果影响很大。另外，图上可以清晰看到，对于同一个B值的钻孔桩，虚线(λ=+∞)总是在实线(λ=8 m)的上方，即虚线(λ=+∞)桩长设计结果更大、更保守，这说明不考虑土性参数空间变异性的桩基础设计结果更保守。

图8 条件失效概率计算结果

图9包含了λ=0.4，1，2，4，8，16，32，64，128，256 m和+∞共11种情况的钻孔桩在不同桩径(B=0.4，0.6，0.8 m)下的最小设计桩长Dmin。图9的横坐标为λ，纵坐标为Dmin，B=0.4，0.6，0.8 m的设计结果分别为含矩形标记、圆形标记和三角形标记的实线。图中没有显示出来的桩基础设计结果均为超出了本文8～20 m的桩长设计范围的情况。由图9可见，三条曲线的变化趋势一致，Dmin均是随着λ的增大而增大。在λ从4 m增大至+∞范围中，B=0.6 m情况下Dmin从12.4 m增至17.2 m，B=0.8 m情况下Dmin从8 m增至11.6 m。这说明土性参数空间变异性对桩基础设计结果影响很大。假设不考虑空间变异性(λ=+∞)，其设计桩长都在曲线的最高点，这说明不考虑土性空间变异性的桩基础设计结果更保守。

图9 空间变异性对桩基础设计的影响(随机场方法模拟)

另外，在λ从4 m增大至+∞范围中，B=0.6 m情况下Dmin的增量是4.8 m(从12.4 m增至17.2 m)；B=0.8 m情况下Dmin的增量是3.6 m(从8 m增至11.6 m)。可见，B值越小土性参数空间变异性的影响越大，即土性参数空间变异性对小直径钻孔桩的设计结果影响更突出。这主要是因为细而长的钻孔桩相对于粗而短的桩来说，其桩侧抗力是桩承载力的主要抗力来源，而土性参数空间变异性对桩侧抗力的影响很大，所以土性参数空间变异性对小直径钻孔桩的影响更大。

6 等效方差法模拟空间变异性的影响

图10中的两条虚线是采用等效方差折减法模拟空间变异性的设计结果，其中含星号和矩形标记的虚线分别代表B=0.6，0.8 m的设计结果。图中两条实线表示采用随机场方法模拟空间变异性时B=0.6，0.8 m的设计结果，分别用含圆形和三角形标记的实线表示。由于B=0.4 m的设计桩长超出了本文8～20 m的桩长设计范围，故图10中没有B=0.4 m的设计结果。

图10 空间变异性对桩基的影响(等效方差折减法模拟)

由图10可见，当λ<1 m或λ>128 m时，两组实线和虚线基本重合；这就说明当λ<1 m或λ>128 m时，使用方差折减函数简化形式的等效方差折减法和随机场方法模拟空间变异性的设计结果基本一致。而当1 m<λ<128 m时，虚线都在实线的上方，这说明使用方差折减函数简化形式的等效方差折减法间接模拟空间变异性的桩基础设计结果更保守。例如，当λ=16 m时，采用等效方差折减法的B=0.6，0.8 m的Dmin设计结果比随机场方法的设计结果分别增大了2(13.5%)，1.6(16%) m。这主要是由于波动范围λ取1～128 m的范围包含了土体特性在竖直方向上的典型波动范围(2～6 m)[1,20]，所以使用方差折减函数简化形式的等效方差折减法将导致更保守的桩基础设计结果。

7 结 论

本文介绍了考虑土性参数空间变异性的桩基础可靠度分析方法，该方法将基于蒙特卡洛模拟的可靠度设计方法与随机场理论相结合，在桩基础可靠度设计中采用随机场法直接明确地模拟土性参数空间变异性，应用该方法对欧洲规范设计过的一个钻孔桩实例进行重新设计，最后分析土性参数空间变异性对钻孔桩可靠度设计的影响。结果表明，土性参数空间变异性对桩基础设计结果影响很大，忽略空间变异性(即λ=+∞)将导致桩基础设计结果更保守。此外，土性参数空间变异性对小直径钻孔桩的设计结果影响更突出。

另外，文章还采用等效方差折减法(使用方差折减函数简化形式)间接近似地模拟土性参数空间变异性，最后分析并比较两种不同空间变异性模拟方法对钻孔桩可靠度设计的影响，结果表明，使用方差折减函数简化形式的等效方差折减法间接模拟土性参数空间变异性的设计结果偏保守。