“四点突破”理念在初中数学数形结合教学中的应用探索

李岩青

【摘要】“四点突破”理念指的是在课堂教学当中，需要教师重点突破兴趣点、重点、难点以及目标达成点.通过从培养学生的学习兴趣入手，结合具体学情以及教学内容，积极引导学生进行深入思考探究，从而利用学生的自主学习能力完成家教学目标.本文以“反比例函数的几何意义”一课为例，结合笔者多年的教学经验，尝试对“四点突破”理念在初中数学数形结合教学中的实际应用进行简要分析研究，希望能够为广大教师同仁提供更加广阔的教学思路.

【关键词】“四点突破”理念;初中数学;数形结合教学;反比例函数的几何意义

在“反比例函数的几何意义”一课中，教师需要将帮助学生准确掌握反比例函数基本内涵与几何意义，以及其相应等价形式作为教学目标.使得学生在准确绘制反比例函数图像的基础上，可以通过分析图像掌握反比例函数的各项性质，并尝试运用数学建模的方式解决反比例函数问题[1].

一、“四点突破”设计

在“四点突破”理念下的“反比例函数的几何意义”一课中，教师需要突破的兴趣点在于通过引导学生从多方面对反比例函数y=kx（k≠0）进行思考探究，进而可以在举一反三、融会贯通下提升对研究k的兴趣.需要突破的重难点则在于要求学生可以在准确了解反比例函数y=kx（k≠0）中k几何意义的基础上，建立起相应的数学模型，用以表明k与矩形面积之间的关系，从而有效解决数学问题.需要突破的目标达成点则在于通过带领学生对矩形面积与k内在关联性的探讨，使其可以灵活运用数形结合思想以及反比例函数的几何意义分析、解决实际问题.

二、教学过程设计

（一）课前导入设计

在课前导入阶段，教师可以通过利用多媒体向学生生动地展示出反比例函数的图像，并要求学生对反比例函数的图像进行认真观察，尝试总结出其包含的具体性质.在此基础上，教师可以利用类比法引导学生将反比例函数与以往所学的正比例函数等其他函数进行对比，归纳出反比例函数同其他函数间的异同点，使其可以加深对反比例函数的理解与认知.

（二）构建数学模型

在实际教学的过程中，教师可以要求学生独立完成双曲线y=kx（k≠0）的绘制，并随便在该双曲线上取一点P（m，n），令其分别同x轴与y轴作垂线，标记垂足A与B.此时双曲线将与x轴和y轴构成一个矩形，在引导学生对矩形以及双曲线进行认真观察后，探索出求解矩形面积的方式.对于数学基础相对比较薄弱的学生，教师则可以将其与数学基础相对较好的学生编在一组，以小组合作探究的方式，使其可以从k的大小入手，观察k同矩形面积间的关系.进而归纳出在k>0的情况下，矩形面积为OA与OB的乘积，即点P横、纵坐标的乘积，而这一数值恰好为k值.此时教师可以引导学生对k<0的情况进行探究，在绘制出k<0时双曲线y=kx（k≠0）的函数图像后，按照上述方式选点，作垂线，并对k与矩形面积间的关系展开探究.使得学生可以在独立进行绘图和思考下，能够了解到当k<0时，矩形面积为-m与n的乘积，即为-k.

（三）巩固所学知识

为了帮助学生全面突破本课的重难点，巩固所学知识内容，教师可以利用多媒体向学生展示出如图所示的函数图像：

图1

在图1中，假设反比例函数y=kx（k≠0）的图像过A点，其与x轴和y轴分别作垂线后获得垂足A与B，此时AB，BO，OC和AC共同构成了一个矩形ABCD，假如该矩形的面积为4，试求k的值.通过对之前总结归纳得到的矩形面积与k的关系进行深入思考，当k>0时，k值与矩形面积完全相等，而当k<0时，矩形面积为-k.由此可知该题中k值为-4[2].当教师发现学生基本已经可以熟练掌握和使用这一关系解决问题时，可以尝试适当增加题目难度，引导学生继续展开思考探究.此时可以为学生设置题目：在双曲线y=kx（x>0）上任意取一点P（m，n），过点P与x轴和y轴分别作垂线以构成一个矩形，若该矩形的面积为12，试求出这一双曲线的解析式.在解决这一问题的过程中，教师首先需要引导学生根据已知条件绘制出相应的双曲线图像，并同时考虑k>0和k<0两种情况，进行解析式的求解.

（四）检测目标达成

为有效检验学生对反比例函数几何意义相关知识的掌握程度，并帮助学生加强对数形结合思维的理解和运用，此时教师可以要求学生采用自主探究的方式，运用本课所学知识技能以数学建模的方式解决问题，从而对学生的具体学习情况进行有效检验，判断教学目标是否已经达成.例如图2，

图2

在反比例函数y=kx（x>0）上有一点A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，连接AO后构成一个三角形△AOB，已知该三角形的面积为2，试求k值.

在这一题中，学生需要根据已知条件，利用反比例函数k与矩形面积的关系求出k的含绝对值符号的一元一次方程，并在此基础上求解出k值.即根据已知条件可知S△AOB=12|k|=2，则k=±4，而根据图像可知反比例函数在第一象限内，因此，k的值为4.

三、结束语

将“四点突破”理念运用在初中数学数形结合教学中，教师需要结合学生的实际情况，层层递进地对学生进行引导，使学生可以利用数学建模、绘制数学图像的方式展开自主思考探究，从而在有效提高学生数学综合运用能力的同时，使其可以灵活运用数形结合思想解决实际问题.

【参考文献】

[1]张瑛，胡懿，邢焰，等.课堂教学“四点突破”教学理念的提出[J].黔南民族师范学院学报，2016（1）：74-77.

[2]程春凤.做好数形结合在初中数学教学中的应用[J].科技资訊，2018（1）：196，198.