例析八年级数学“将军饮马”模型中线段和的最值问题

2020-05-11 06:10谭艳霞陈秋月
数学学习与研究 2020年7期
关键词:最值

谭艳霞 陈秋月

【摘要】近年来,最值问题成为中考热点之一,时常出现在压轴题中.本文主要借助“将军饮马”模型,“化折为直”的转化思想,解决在不同几何图形中线段和的最值问题.

【关键词】将军饮马;三点共线;最值

古希腊一位将军骑马要从A地出发到河边让马饮水,然后再去同侧的B地.怎样选择马饮水的位置C,才能使马走得路程最短呢?最短路程是多少?如图1所示.

做法:1.选择其中一个定点如点A,作点A与动点C所在直线l的对称点A′.

2.连接对称点A′与另一个定点B,与直线l的交点即为要求的点C.

3.所连线段的长A′B即为所求的线段和的最小值.

“将军饮马”利用“轴对称”的性质实现化折线为直线,实质是当三点共线时,两线段和取得最小值.攻略是先找线再找点,即关键抓住两点:确定动点所在的直线,确定两个定点.掌握了这个知识点后,我们就来大展身手吧.

一、与三角形相结合的试题

如图所示,已知等边△ABC的边长為8,点D为AC的中点,点E为BC的中点,点P为BD上一动点,求PE+PC的最小值.

分析 求线段和最小值,想到“将军饮马”模型.要解决这个问题,首先要确定什么呢?两个确定:

(1)确定动点所在的直线(即为对称轴),由P为BD上一动点,确定直线: BD ;

(2)确定两定点:由PE+PC及题意可知,两定点: 点E和点C .

3.确定直线和定点后,其做法为:① 做其中一个定点的对称点,② 连接另一个定点,③ 与对称轴交于一点即为所求点.

解 ① 做对称点:∵△ABC是等边三角形,点D为AC的中点,

∴BD⊥AC,AD=DC,即点C的对称点为点A.

② 连接AE.

③ 与线BD交于一点P,此时线段AE的长即为PE+PC最小值,点E是边BC的中点,∴AE⊥BC,EC=4.

∵AE2=AC2-EC2,∴AE=43,

故PE+PC的最小值是43.

二、与四边形相结合的试题

如图所示,正方形ABCD的边长为2,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,求这个最小值.

分析 求线段和最小值,两个确定:

(1)确定动点所在的线(即为对称轴),在对角线AC上有一点P,确定线: AC ;

(2)确定两定点:由PD+PE及题意可知,两定点: 点D和点E .

解 由于点B与D关于AC对称,即过点D作关于线AC的对称点为B,连接BE,与AC的交点即为点P.

∵点B与D关于AC对称,

∴PD=PB,

∴PD+PE=PB+PE=BE最小.

∵正方形ABCD的边长为2,

∴AB=2.

又∵△ABE是等边三角形,

∴BE=AB=2,∴所求最小值为2.

三、与一次函数相结合的试题

一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4).

(2)O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C,D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.

分析 求线段和最小值,两个确定:

(1)确定动点所在的线(即为对称轴),P为OB上一动点,确定线: OB ;

(2)确定两定点:PC+PD的最小值可知,两定点: 点C和点D .

解 设点C关于点O的对称点为C′,连接C′D交OB于P′,连接P′C,则PC=PC′,

∴PC+PD=PC′+PD=C′D,

即PC+PD的最小值是C′D.

连接CD,在Rt△DCC′中

CD=CC2+CD2=22,

即PC′+PD的最小值为22.

∵OA,AB的中点分别为C,D,

∴CD是△OBA的中位线,

∴OP∥CD,CD=12,OB=2.

∵C′O=OC,∴OP是△C′CD的中位线,

∴OP=12,CD=1,∴点P的坐标为(0,1).

四、四边形与一次函数综合的试题

已知函数y=-43x+8与x轴和y轴分别交于D,C两点,长方形OCAB在第一象限,点E在AB上,沿CE折叠,点A恰好与点D重合.

(1)求直线CE的解析式;

(2)在x轴上找一点P,使PC+PE的和最小,并求P点坐标.

分析 (2)中求线段和最小值,两个确定:

① 确定动点所在的线(即为对称轴),在x轴上找一点P,确定线: x轴 ;

② 确定两定点:由PC+PE及题意可知,两定点: 点C和点E .

解 (1)当x=0时,y=8,当y=0时,x=6,

故点C的坐标为(0,8),点D的坐标为(6,0),

则OC=8,OD=6,

由勾股定理得CD=OC2+OD2=10

由翻折变换的性质可知,AC=CD=10,BD=OB-OD=4,

设BE=x,则DE=AE=8-x,

由勾股定理得DE2=BD2+BE2,

即(8-x)2=42+x2,

解得x=3,

则点E的坐标为(10,3),

设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),

则10k+b=3,b=8,

解得k=-12,b=8,

故直线CE的解析式为

y=-12x+8.

(2)∵点C关于x轴的对称点为C′,

∴点C′的坐标为(0,-8),

连接EC′,交x轴于P,则PC+PE的和最小,

设直线EC′的解析式为y=ax+c,

则10a+c=3,c=-8, 解得a=1011,c=-8,

直EC′的解析式为y=1011x-8,

y=1110x-8与x轴的交点P的坐标8011,0.

对于线段和求最小值的问题,无论题目是镶嵌在哪个几何图形中,是简单还是复杂,只要确定两点:线与两定点.则其余的问题都可迎刃而解.

依托“将军饮马”模型,更换研究的背景,如三角形、四边形、函数及其综合,使学生领悟不变的是本质:三点共线时取最值,变化的只是形式.解决问题所采的方法就是化折为直,通过轴对称的性质,把未知的问题转化为已知的问题.当我们遇到新的问题时,我们就要想到怎样把它转化成已学过的问题.

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