勒贝格积分与黎曼积分的关系*

张永立 ，黄 芳 ，王学军 ，范志勇

(1焦作师范高等专科学校 数学学院， 河南 焦作 464000；2山西大学 计算机与信息技术学院 ，山西 太原 030000)

黎曼积分[1-2](下文简称“R积分”) 和勒贝格积分[3-4](下文简称“L积分”)是近代分析数学的最基本概念之一，L积分是想克服R积分的一些缺陷，使得微分与积分的运算更加完善，但他们之间既有区别又有联系.Corporation H P[5],Henstock R[6]等分别从不同的角度阐述了这两种积分的联系与区别. 近年来，国内一些学者也从不同的视角比较了两种积分的优劣[7-10]，那么，仅从函数的范围来看，L积分要比R积分广泛得多，同时L积分也比R积分优越许多，利用L积分来研究R积分的许多概念，可以得到许多更深刻的结果，提出了R积分本身无法解决的一些问题的理论依据.

本文从积分的定义出发，对可积的充要条件、可积函数的连续性、积分的可加性、积分极限定理以及两种积分的区别与联系进行了比较，同时对鲁津定理做了一个小推论，并证明了该推论，说明了L可积函数是R可积的条件.

1 预备知识

1.1 R积分的定义

设f(x)在[a,b]上有界，T表示[a,b]上的任一分划

a=x0

将区间[a,b]分成n个小区间，设Mi,mi分别是f(x)在每个小区间[xi-1,xi]上的上、下确界，

则称f(x)在[a,b]上R可积，记为

1.2 勒贝格积分的定义

设f(x)是可测集E⊂Rq(mE<∞)上的有界勒贝格可测函数，对于可测集E的任一分划T={E1,E2,…,En}，记

f(x)在可测集E上的上、下积分分别为

如果

则称它为f(x)在E上关于勒贝格测度的积分，即L积分，记作

我们知道Dirichler函数

1.3 两种积分定义的比较

2 主要的区别与联系

2.1 R可积与L可积的充要条件

定理1 函数f(x)在[a,b]上的有界函数，则函数f(x)在[a,b]上黎曼可积的充要条件是f(x)在[a,b]上不连续点集构成一个零测度集.

定理2 设f(x)是可测集E⊂R(m(E)<∞)上的有界函数，则f(x)在E上勒贝格可积的充要条件是f(x)在E上勒贝格可测.

定理1告诉我们，对于区间[a,b]上的有界函数，其黎曼可积性并非由该函数在不连续点处的状态所致，而是取决于他的不连续点集的测度.

事实上，对于仅仅在所有的无理点是连续，但在所有的有理点不连续的黎曼函数

同时，定理2表明对于Rq中测度有限的可测集上的有界函数可测和勒贝格可积是同一回事.

现在再来看R可积与L可积具有什么样的性质.

2.2 可积函数的连续性

定理3 设f(x)是定义在集合E上的连续R可积函数，则对任意的δ>0,存在闭子集Eδ⊂E，使f(x)在Eδ是连续函数，且

m(EEδ)=0.

定理4 设f(x)是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的δ>0,存在闭子集Eδ⊂E，使f(x)在Eδ是连续函数，且

m(EEδ)<δ.

定理3表明，对于黎曼可积函数的情形，在集合E⊂Rn上，若有界函数f(x)最多有有限个间断点，则函数f(x)为一个几乎处处连续的函数.同时，如果一个函数是几乎处处连续的，那么这个函数就几乎处处等于一个连续函数，即是说它也是E⊂Rn上的可测函数.

定理4表明，几乎处处可测的函数是“基本上连续”的函数.

从而由定理3和定理4我们可以知道黎曼可积函数是几乎处处连续，勒贝格可积函数是“基本上连续”的函数，故黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.

2.3 积分的可加性

由于黎曼可积函数是建立在约当测度的基础之上，那么由定理5，对于黎曼可积函数的情形只有有限可加性.反观建立在勒贝格测度之上的勒贝格积分，具有可数可加性，克服了黎曼积分一些缺陷。

2.4 积分极限定理

定理7 若函数列{fn(x)}在E上一致收敛，且每一项都连续，则

定理8 设

(1){fn(x)}是可测集E上的可测函数列；

(2)|fn(x)|≤F(x)几乎处处于E，n=1,2,…，且F(x)在E上可积，称{fn(x)}为F(x)所控制，而F(x)叫做控制函数；

(3)fn(x)⟹F(x)，则f(x)在E上可积，且

定理7给出了黎曼积分与极限交换的条件，要求被积函数必须一致收敛，此条件限制极强，不仅使得条件的检验不方便，而且运算难度大.

定理8表明了勒贝格积分与极限交换的条件，要求存在控制函数F(x)，且使得|f(x)|

比较定理8和定理9，我们不难发现黎曼可积的积分与极限的交换条件较为严格，但是勒贝格积分的交换条件较弱，相较而言具有一定优越性。

3 结论

3.1 L积分与R积分的关系

定理9 设f(x)在[a,b]上R可积，则它必同时L可积，且有相同的积分值

另一方面，却存在有R不可积，但却L可积的函数，例如我们已经提到过的Dirichler函数就是R不可积，但它却是L可积的. 但值得注意的是，我们知道L可积是一种绝对收敛积分，而R反常积分不一定绝对收敛，可见L积分是R积分的推广但却不是R反常积分的推广.

那么，具备什么样性质的L可积函数类是R可积的.我们借助鲁津定理来证明如下定理.

定理10 设E⊂Rn，f(x)是E上a.e有限的可测函数，则对任意的δ>0，存在闭子集F和Rn上的连续函数g(x)，使得：

(1)m({x∈E:f(x)≠g(x)})<δ；

(2)f(x)为F上几乎处处连续的函数.

证明 据鲁津定理，f(x)是E上a.e有限的可测函数，则对任意δ>0，存在闭子集Fδ⊂E与Rn上的连续函数g(x)，使得m(EFδ)<δ，且f(x)=g(x)，x∈Fδ,又({x∈E:f(x)≠g(x)})⊂m(EFδ)，从而：

m({x∈E:f(x)≠g(x)})<δ.

(1)式得证，为了达到证明(2)式的目的，我们构造Rn上的连续函数列gn(x)，使得当x∈Fδ时，有gn(x)=f(x).所以对任意的η>0，有

E[|f-gn|≥η]⊂EFδ，

由此即得

mE[|f-fn|≥η]≤m(EFδ)<δ，

因此

注：1).我们的定理10建立在鲁津定理的基础之上，因此可以看成是鲁津定理的推论；

2).我们知道R可积必L可积，但L可积不R可积，定理10给出了L可积函数是R可积的条件.

3.2 L积分优点与R积分的缺点

我们知道，若f(x)是R可积的，则|f(x)|也R可积，但若|f(x)|R可积，那么f(x)不一定R可积，相反，对于L可积而言,若函数f(x)在集合E上可测，函数f(x)是L可积的充分必要条件是|f(x)|是L可积的.

无论是可积的充要条件、可积函数的连续性、可加性、积分极限定理还是二重积分化成累次积分的计算，黎曼积分的条件都是比较严苛的，运算复杂，条件验证难度大，然而，勒贝格可积条件宽松易于验证，运算复杂度低等特点，同时黎曼积分中的一些结论也必须借助于勒贝格积分才能得到，用L积分可以解决R积分中比较困难的问题，这也是我们以后研究的一个方向.